曲線 $y = x^2 - 2x - 3$ とx軸で囲まれた図形の面積を求める問題です。 (1)面積を求める積分式に必要な値を求めます。 (2)(1)の式を計算して面積を求めます。

## 問題8の解答

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 - 2x - 3$ とx軸で囲まれた図形の面積を求める問題です。

(1)面積を求める積分式に必要な値を求めます。

(2)(1)の式を計算して面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$y = x^2 - 2x - 3$ とx軸との交点を求めます。

$x^2 - 2x - 3 = 0$ を解くと、$(x-3)(x+1) = 0$ となり、$x = -1, 3$ が得られます。

この交点が積分の範囲になります。

また、$-1 \le x \le 3$ において、$x^2 - 2x - 3 \le 0$ であるため、積分する際には絶対値を取る必要があります。

または、$y=0$から$y=x^2-2x-3$を引いたものを積分します。

よって面積Sは、

$S = \int_{-1}^{3} \{0 - (x^2 - 2x - 3) \} dx$

と表せます。

ア：3

イ：-1

ウ：-1

(2) (1)で求めた積分式を計算します。

$S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$

$S = [-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x]_{-1}^{3}$

$S = (-\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + 3(3)) - (-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1))$

$S = (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3)$

$S = 9 - (\frac{1}{3} - 2)$

$S = 9 - (\frac{1}{3} - \frac{6}{3})$

$S = 9 - (-\frac{5}{3})$

$S = 9 + \frac{5}{3}$

$S = \frac{27}{3} + \frac{5}{3}$

$S = \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

ア：3

イ：-1

ウ：-1

(2)

$\frac{32}{3}$