$\lim_{x \to 0} (1 + \tan x)^{\frac{1}{x}}$ を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} (1 + \tan x)^{\frac{1}{x}}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $y$ とおきます。

$y = (1 + \tan x)^{\frac{1}{x}}$

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln (1 + \tan x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln (1 + \tan x)$

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \tan x)}{x}$

ここで、ロピタルの定理を適用します。$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \tan x)}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx} \ln (1 + \tan x) = \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x}$

分母の微分: $\frac{d}{dx} x = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \tan x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x}$

$x \to 0$ のとき、$\tan x \to 0$ および $\sec x = \frac{1}{\cos x} \to \frac{1}{1} = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x} = \frac{1^2}{1 + 0} = 1$

よって、$\lim_{x \to 0} \ln y = 1$

したがって、$\lim_{x \to 0} y = e^1 = e$

3. 最終的な答え

$e$