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関数 $y = \frac{3x-4}{x^2+1}$ を微分せよ。

解析学微分関数の微分分数関数
2025/5/24

1. 問題の内容

関数 y=3x−4x2+1y = \frac{3x-4}{x^2+1} を微分せよ。

2. 解き方の手順

分数の微分公式を使います。
y=uvy = \frac{u}{v} のとき、y′=u′v−uv′v2y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} です。
ここで、u=3x−4u = 3x-4 と v=x2+1v = x^2+1 とおきます。
u′=ddx(3x−4)=3u' = \frac{d}{dx}(3x-4) = 3
v′=ddx(x2+1)=2xv' = \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x
したがって、
y′=3(x2+1)−(3x−4)(2x)(x2+1)2y' = \frac{3(x^2+1) - (3x-4)(2x)}{(x^2+1)^2}
y′=3x2+3−(6x2−8x)(x2+1)2y' = \frac{3x^2+3 - (6x^2-8x)}{(x^2+1)^2}
y′=3x2+3−6x2+8x(x2+1)2y' = \frac{3x^2+3 - 6x^2+8x}{(x^2+1)^2}
y′=−3x2+8x+3(x2+1)2y' = \frac{-3x^2+8x+3}{(x^2+1)^2}

3. 最終的な答え

−3x2+8x+3(x2+1)2\frac{-3x^2+8x+3}{(x^2+1)^2}

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