箱の中に金貨1枚、銀貨3枚、銅貨8枚の計12枚の硬貨が入っている。 (1) この箱から1枚取り出して戻すという試行を3回繰り返すとき、少なくとも1回は金貨が取り出される確率を求めよ。 (2) この箱から1枚取り出して戻すという試行を6回繰り返すとき、金貨が1回、銀貨が2回、銅貨が3回取り出される確率を求めよ。

1. 問題の内容

箱の中に金貨1枚、銀貨3枚、銅貨8枚の計12枚の硬貨が入っている。

(1) この箱から1枚取り出して戻すという試行を3回繰り返すとき、少なくとも1回は金貨が取り出される確率を求めよ。

(2) この箱から1枚取り出して戻すという試行を6回繰り返すとき、金貨が1回、銀貨が2回、銅貨が3回取り出される確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも1回金貨が出る確率は、1から3回とも金貨が出ない確率を引けば求められる。

金貨が出ない確率（つまり銀貨か銅貨が出る確率）は $\frac{3+8}{12} = \frac{11}{12}$ である。

3回とも金貨が出ない確率は、 $(\frac{11}{12})^3$ である。

したがって、少なくとも1回金貨が出る確率は $1 - (\frac{11}{12})^3$ で計算できる。

$1 - (\frac{11}{12})^3 = 1 - \frac{1331}{1728} = \frac{1728 - 1331}{1728} = \frac{397}{1728}$

(2) 6回の試行で、金貨1回、銀貨2回、銅貨3回となる確率を求める。

まず、金貨が出る確率は $\frac{1}{12}$、銀貨が出る確率は $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$、銅貨が出る確率は $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ である。

6回のうち、金貨が1回、銀貨が2回、銅貨が3回出る組み合わせの数は、多項定理より $\frac{6!}{1!2!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{2} = 60$ 通りである。

したがって、求める確率は $60 \cdot (\frac{1}{12})^1 \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{2}{3})^3$ で計算できる。

$60 \cdot (\frac{1}{12}) \cdot (\frac{1}{16}) \cdot (\frac{8}{27}) = 60 \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{27}$

$= \frac{60 \cdot 8}{12 \cdot 16 \cdot 27} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27} = \frac{40}{5184} = \frac{5}{324}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{397}{1728}$

(2) $\frac{5}{324}$