与えられた数列の一般項と初項から第5項までの和を求める問題です。数列は等差数列または等比数列で、それぞれ初項と公差または公比が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた数列の一般項と初項から第5項までの和を求める問題です。数列は等差数列または等比数列で、それぞれ初項と公差または公比が与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 初項 -4, 公差 2 の等差数列

* 一般項: 等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差、$n$ は項数です。

この問題の場合、$a_1 = -4$、$d = 2$ なので、一般項は $a_n = -4 + (n-1)2 = -4 + 2n - 2 = 2n - 6$ となります。

* 初項から第5項までの和: 等差数列の和は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ で表されます。

$n = 5$ のとき、$a_5 = 2(5) - 6 = 10 - 6 = 4$ です。

したがって、$S_5 = \frac{5}{2}(-4 + 4) = \frac{5}{2}(0) = 0$ となります。

(2) 初項 10, 公差 -3 の等差数列

* 一般項: $a_n = a_1 + (n-1)d$ で、$a_1 = 10$、$d = -3$ なので、一般項は $a_n = 10 + (n-1)(-3) = 10 - 3n + 3 = 13 - 3n$ となります。

* 初項から第5項までの和: $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ で、$n = 5$ のとき、$a_5 = 13 - 3(5) = 13 - 15 = -2$ です。

したがって、$S_5 = \frac{5}{2}(10 - 2) = \frac{5}{2}(8) = 20$ となります。

(3) 初項 -4, 公比 2 の等比数列

* 一般項: 等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

この問題の場合、$a_1 = -4$、$r = 2$ なので、一般項は $a_n = -4 \cdot 2^{n-1} = -2^2 \cdot 2^{n-1} = -2^{n+1}$ となります。

* 初項から第5項までの和: 等比数列の和は $S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$ で表されます。

この問題の場合、$a_1 = -4$、$r = 2$、$n = 5$ なので、$S_5 = \frac{-4(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{-4(1 - 32)}{-1} = \frac{-4(-31)}{-1} = -124$ となります。

(4) 初項 10, 公比 -3 の等比数列

* 一般項: $a_n = a_1 r^{n-1}$ で、$a_1 = 10$、$r = -3$ なので、一般項は $a_n = 10 \cdot (-3)^{n-1}$ となります。

* 初項から第5項までの和: $S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$ で、$a_1 = 10$、$r = -3$、$n = 5$ なので、$S_5 = \frac{10(1 - (-3)^5)}{1 - (-3)} = \frac{10(1 - (-243))}{4} = \frac{10(244)}{4} = \frac{2440}{4} = 610$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = 2n - 6$, 和: $S_5 = 0$

(2) 一般項: $a_n = 13 - 3n$, 和: $S_5 = 20$

(3) 一般項: $a_n = -2^{n+1}$, 和: $S_5 = -124$

(4) 一般項: $a_n = 10 \cdot (-3)^{n-1}$, 和: $S_5 = 610$