箱の中に当たりくじが3本、はずれくじが7本、合計10本入っている。太郎さんが1番目に、花子さんが2番目にくじを引くとき、以下の確率を求める問題。 * 太郎さんが当たりくじを引く確率 $P(A)$ * 太郎さんと花子さんがともに当たりくじを引く確率 $P(A \cap B)$ * 太郎さんがはずれくじを引き、かつ花子さんが当たりくじを引く確率 $P(\overline{A} \cap B)$ * 花子さんが当たりくじを引く確率 $P(B)$

1. 問題の内容

箱の中に当たりくじが3本、はずれくじが7本、合計10本入っている。太郎さんが1番目に、花子さんが2番目にくじを引くとき、以下の確率を求める問題。

* 太郎さんが当たりくじを引く確率 $P(A)$

* 太郎さんと花子さんがともに当たりくじを引く確率 $P(A \cap B)$

* 太郎さんがはずれくじを引き、かつ花子さんが当たりくじを引く確率 $P(\overline{A} \cap B)$

* 花子さんが当たりくじを引く確率 $P(B)$

2. 解き方の手順

* $P(A)$ について:

太郎さんが当たりくじを引く確率は、当たりくじの数/全体のくじの数で計算される。

$P(A) = \frac{3}{10}$

ア = 3, イウ = 10

* $P(A \cap B)$ について:

太郎さんが当たりくじを引いた後、花子さんも当たりくじを引く確率を考える。太郎さんが当たりを引いたので、当たりくじは2本、全体のくじは9本になる。

$P(A \cap B) = P(A) \times \frac{2}{9} = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{1}{15}$

エ = 2, オ = 9

* $P(\overline{A} \cap B)$ について:

太郎さんがはずれくじを引いた後、花子さんが当たりくじを引く確率を考える。太郎さんがはずれを引いたので、当たりくじは3本、全体のくじは9本になる。

まず、$P(\overline{A})$ (太郎さんがはずれくじを引く確率)を求める。

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$

次に、$P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times \frac{3}{9} = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{7}{10} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{30}$

カ = 3, キ = 9

* $P(B)$ について:

花子さんが当たりくじを引く確率は、$P(A \cap B)$ と $P(\overline{A} \cap B)$ の和で表せる。

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = \frac{1}{15} + \frac{7}{30} = \frac{2}{30} + \frac{7}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$

ク = 0

ケ = 3, コサ = 10

3. 最終的な答え

* $P(A) = \frac{3}{10}$

* $P(A \cap B) = \frac{2}{9}$

* $P(\overline{A} \cap B) = \frac{3}{9}$

* $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$

* $P(B) = \frac{3}{10}$