点 $(3, a)$ を通り、曲線 $y = -e^{-x}$ に2本の接線が引けるような実数 $a$ の範囲を求める問題です。 接点の $x$ 座標を $t$ とおくと、接線の方程式は $y = e^{-t}x - (t+1)e^{-t}$ となります。 この接線が点 $(3, a)$ を通るので、$a$ を $t$ で表した関数 $f(t) = (3e^{-t}) = (2-t)e^{-t}$ とおき、$y = f(t)$ のグラフを描き、$a$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

点 $(3, a)$ を通り、曲線 $y = -e^{-x}$ に2本の接線が引けるような実数 $a$ の範囲を求める問題です。

接点の $x$ 座標を $t$ とおくと、接線の方程式は $y = e^{-t}x - (t+1)e^{-t}$ となります。

この接線が点 $(3, a)$ を通るので、$a$ を $t$ で表した関数 $f(t) = (3e^{-t}) = (2-t)e^{-t}$ とおき、$y = f(t)$ のグラフを描き、$a$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = -e^{-x}$ の導関数を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}$

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点の座標は $(t, -e^{-t})$ となります。

接線の方程式は、傾きが $e^{-t}$ で、点 $(t, -e^{-t})$ を通るから、

$y - (-e^{-t}) = e^{-t}(x - t)$

$y = e^{-t}x - te^{-t} - e^{-t}$

$y = e^{-t}x - (t + 1)e^{-t}$

この接線が点 $(3, a)$ を通るので、

$a = e^{-t} \cdot 3 - (t+1)e^{-t}$

$a = (3 - t - 1)e^{-t}$

$a = (2 - t)e^{-t}$

ここで、$f(t) = (2 - t)e^{-t}$ とおくと、

$f'(t) = -e^{-t} + (2 - t)e^{-t} = (1 - t)e^{-t}$

$f'(t) = 0$ となるのは、$t = 1$ のときです。

$t < 1$ のとき、$f'(t) > 0$ より $f(t)$ は増加し、$t > 1$ のとき、$f'(t) < 0$ より $f(t)$ は減少します。

また、$t \to \infty$ のとき、$f(t) \to 0$ であり、$t \to -\infty$ のとき、$f(t) \to -\infty$ です。

したがって、$t=1$ のとき、$f(1) = (2-1)e^{-1} = e^{-1}$ が最大値となります。

$y = f(t)$ のグラフは、$t=1$ で極大値をとり、$t$ が大きいと $y=0$ に近づき、$t$ が小さいと $-\infty$ に発散するグラフなので、グラフの概形は選択肢の(1)〜(4)にはない。

しかし、接線が2本引けるような $a$ の範囲を求めるためには、極値と、$t$ が大きくなるにつれて $0$ に近づくことを考慮すると、接線が2本引けるのは、$a < e^{-1}$ のときであることが分かる。

3. 最終的な答え

$a < e^{-1}$