不定積分 $\int \log(3x-4) dx$ を計算し、与えられた形式の答えを求めます。与えられた形式は $\frac{1}{10} (Ax-B)\log(Cx-D) - x + C$ です。ここでA, B, C, Dを決定する必要があります。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \log(3x-4) dx$ を計算し、与えられた形式の答えを求めます。与えられた形式は $\frac{1}{10} (Ax-B)\log(Cx-D) - x + C$ です。ここでA, B, C, Dを決定する必要があります。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて不定積分を計算します。

部分積分は $\int u dv = uv - \int v du$ で表されます。

$u = \log(3x-4)$ と $dv = dx$ を選びます。すると、$du = \frac{3}{3x-4} dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$\int \log(3x-4) dx = x \log(3x-4) - \int x \frac{3}{3x-4} dx = x \log(3x-4) - 3 \int \frac{x}{3x-4} dx$

ここで $\int \frac{x}{3x-4} dx$ を計算します。

$\frac{x}{3x-4} = \frac{1}{3} \frac{3x}{3x-4} = \frac{1}{3} \frac{3x-4+4}{3x-4} = \frac{1}{3} (1 + \frac{4}{3x-4})$

したがって、

$\int \frac{x}{3x-4} dx = \int \frac{1}{3} (1 + \frac{4}{3x-4}) dx = \frac{1}{3} \int (1 + \frac{4}{3x-4}) dx = \frac{1}{3} (x + \frac{4}{3} \log|3x-4|) + C$

$\int \log(3x-4) dx = x \log(3x-4) - 3 (\frac{1}{3} (x + \frac{4}{3} \log|3x-4|)) + C = x \log(3x-4) - x - \frac{4}{3} \log(3x-4) + C = (x - \frac{4}{3}) \log(3x-4) - x + C = \frac{1}{3}(3x-4)\log(3x-4) - x + C$

$\frac{1}{3}(3x-4)\log(3x-4) - x + C = \frac{1}{10} (\frac{10}{3} (3x-4) \log(3x-4) - 10x) + C$

与えられた形式は $\frac{1}{10} (Ax-B)\log(Cx-D) - x + C$ なので

$\frac{1}{10} (Ax-B)\log(Cx-D) - x + C = \frac{1}{10} (10(x-\frac{4}{3}))\log(3x-4) - x + C = \frac{1}{10} (\frac{10}{3}(3x-4)) \log(3x-4) - x + C$

$\frac{1}{3}(3x-4)\log(3x-4) - x + C$

$3x - 4 = Ax-B$

$A = 3$, $B = 4$.

$Cx-D = 3x-4$.

$C = 3$, $D = 4$.

$\int \log(3x-4) dx = \frac{1}{3} (3x-4) \log(3x-4) - x + C$.

したがって、$\frac{1}{10} (10x - \frac{40}{3}) \log(3x-4) - x + C$

$\frac{10}{3}(3x-4)\log(3x-4)-10x+C = (10x-\frac{40}{3})\log(3x-4)-10x+C$

別の解き方

$u = 3x-4$ とすると $x = \frac{u+4}{3}$ であり $dx = \frac{1}{3} du$

$\int \log(3x-4) dx = \int \log u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \log u du = \frac{1}{3} (u \log u - u) + C$

$= \frac{1}{3} ( (3x-4) \log(3x-4) - (3x-4) ) + C = \frac{1}{3} (3x-4) \log(3x-4) - x + \frac{4}{3} + C = \frac{1}{3} (3x-4) \log(3x-4) - x + C$

よって $\frac{1}{10} (\frac{10}{3} (3x-4)) \log(3x-4) - x + C$

したがって、$\frac{1}{10} (10x - \frac{40}{3}) \log(3x-4) - x + C$

$\frac{1}{10}(10x - \frac{40}{3})\log(3x-4) - x + C$.

よって $\frac{1}{10}(10x - 13.333)\log(3x-4)-x+C$

$11 = 10$, $12 = \frac{40}{3}$, $13=3$, $14=4$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{10} (10x-\frac{40}{3}) \log(3x-4) - x + C$

$\frac{1}{10} (10x-\frac{40}{3}) \log(3x-4) - x + C$

よって

$\int \log(3x-4) dx = \frac{1}{10}(10x - \frac{40}{3})\log(3x-4) - x + C$

したがって、

$11 = 10$, $12 = \frac{40}{3}$, $13 = 3$, $14 = 4$.

$\frac{40}{3}$ は小数で表すと 13.333... なので、近い整数を書くと 13 となります。

よって、求めるべき数字は 10, 40/3, 3, 4 となります。しかし、画像の形式に合わせる必要があります。

$\int \log(3x-4) dx = \frac{1}{3}(3x-4)\log(3x-4) - x + C$.

$\frac{1}{10} (\frac{10}{3}(3x-4))\log(3x-4)-x+C = \frac{1}{10}(10x-\frac{40}{3})\log(3x-4) - x + C$.

したがって, $11=10, 12 = \frac{40}{3}, 13=3, 14=4$ となります。

1. 問題の内容

$\int \log(3x-4) dx = \frac{1}{10}([11]x-[12])\log([13]x-[14]) - x + C$ における [11], [12], [13], [14] に当てはまる数字を求めよ。

2. 解き方の手順

$\int \log(3x-4) dx$ を計算する。部分積分を用いると、$u = \log(3x-4)$, $dv = dx$ より、$du = \frac{3}{3x-4} dx$, $v = x$

$\int \log(3x-4) dx = x\log(3x-4) - \int x\frac{3}{3x-4}dx = x\log(3x-4) - 3\int \frac{x}{3x-4}dx$

$\frac{x}{3x-4} = \frac{1}{3}\frac{3x}{3x-4} = \frac{1}{3}\frac{3x-4+4}{3x-4} = \frac{1}{3}(1+\frac{4}{3x-4})$

$\int \frac{x}{3x-4}dx = \frac{1}{3}\int (1+\frac{4}{3x-4})dx = \frac{1}{3}(x+\frac{4}{3}\log(3x-4))$

$\int \log(3x-4) dx = x\log(3x-4) - 3(\frac{1}{3}(x+\frac{4}{3}\log(3x-4))) = x\log(3x-4) - x - \frac{4}{3}\log(3x-4) = (x-\frac{4}{3})\log(3x-4)-x+C = \frac{1}{3}(3x-4)\log(3x-4)-x+C$

$\frac{1}{10}(10(\frac{1}{3}(3x-4)))\log(3x-4) - x + C = \frac{1}{10}(\frac{10}{3}(3x-4))\log(3x-4) - x + C = \frac{1}{10}(10x-\frac{40}{3})\log(3x-4)-x+C$

3. 最終的な答え

11 = 10, 12 = 40/3, 13 = 3, 14 = 4

11 = 10

12 = 40/3

13 = 3

14 = 4