袋の中に白球20個、赤球30個が入っている。袋から球を1つ取り出し、色を確認後、袋に戻す操作を40回繰り返す。白球が $n$ 回取り出される確率を $p_n$ とする。 (1) $0 \le n \le 39$ のとき、$\frac{p_{n+1}}{p_n}$ を $n$ の式で表す。 (2) 白球が取り出される確率が最大になるのは、白球が何回取り出されるときか。

1. 問題の内容

袋の中に白球20個、赤球30個が入っている。袋から球を1つ取り出し、色を確認後、袋に戻す操作を40回繰り返す。白球が $n$ 回取り出される確率を $p_n$ とする。

(1) $0 \le n \le 39$ のとき、$\frac{p_{n+1}}{p_n}$ を $n$ の式で表す。

(2) 白球が取り出される確率が最大になるのは、白球が何回取り出されるときか。

2. 解き方の手順

(1)

$n$ 回白球を取り出す確率は、二項分布に従う。

$p_n = \binom{40}{n} (\frac{20}{50})^n (\frac{30}{50})^{40-n} = \binom{40}{n} (\frac{2}{5})^n (\frac{3}{5})^{40-n}$

$p_{n+1} = \binom{40}{n+1} (\frac{2}{5})^{n+1} (\frac{3}{5})^{40-(n+1)} = \binom{40}{n+1} (\frac{2}{5})^{n+1} (\frac{3}{5})^{39-n}$

$\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{\binom{40}{n+1} (\frac{2}{5})^{n+1} (\frac{3}{5})^{39-n}}{\binom{40}{n} (\frac{2}{5})^n (\frac{3}{5})^{40-n}} = \frac{\frac{40!}{(n+1)!(40-n-1)!}}{\frac{40!}{n!(40-n)!}} \cdot \frac{(\frac{2}{5})^{n+1}}{(\frac{2}{5})^n} \cdot \frac{(\frac{3}{5})^{39-n}}{(\frac{3}{5})^{40-n}}$

$= \frac{n!(40-n)!}{(n+1)!(39-n)!} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{40-n}{n+1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2(40-n)}{3(n+1)} = \frac{80-2n}{3n+3}$

(2)

$p_n$ が最大となる $n$ を求める。

$\frac{p_{n+1}}{p_n} > 1$ となる $n$ を調べる。

$\frac{80-2n}{3n+3} > 1$

$80 - 2n > 3n + 3$

$77 > 5n$

$n < \frac{77}{5} = 15.4$

よって、$n \le 15$ のとき、$p_{n+1} > p_n$ となる。

$\frac{p_{n+1}}{p_n} < 1$ となる $n$ を調べる。

$\frac{80-2n}{3n+3} < 1$

$80 - 2n < 3n + 3$

$77 < 5n$

$n > \frac{77}{5} = 15.4$

よって、$n \ge 16$ のとき、$p_{n+1} < p_n$ となる。

$n = 15$ のとき $\frac{p_{16}}{p_{15}} = \frac{80 - 2(15)}{3(15) + 3} = \frac{50}{48} > 1$

$n = 16$ のとき $\frac{p_{17}}{p_{16}} = \frac{80 - 2(16)}{3(16) + 3} = \frac{48}{51} < 1$

$p_0 < p_1 < \dots < p_{15} < p_{16}$

$p_{16} > p_{17} > \dots > p_{40}$

$n = 15$ と $n = 16$ で比較する。

$p_{15} = \binom{40}{15} (\frac{2}{5})^{15} (\frac{3}{5})^{25}$

$p_{16} = \binom{40}{16} (\frac{2}{5})^{16} (\frac{3}{5})^{24}$

$\frac{p_{16}}{p_{15}} = \frac{40!}{16!24!} \cdot \frac{15!25!}{40!} \cdot \frac{(\frac{2}{5})^{16}}{(\frac{2}{5})^{15}} \cdot \frac{(\frac{3}{5})^{24}}{(\frac{3}{5})^{25}} = \frac{15! 25!}{16! 24!} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{50}{48} > 1$

$p_{16} > p_{15}$

よって、白球が取り出される確率が最大になるのは、16回。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{80-2n}{3n+3}$

(2) 16回