袋の中に白球20個、赤球30個が入っている。この袋から球を1つ取り出し、色を確認して袋に戻す操作を40回繰り返す。$n$回白球を取り出す確率を$p_n$とする。 (1) $0 \le n \le 39$のとき、$\frac{p_{n+1}}{p_n}$を$n$の式で表す。 (2) 白球を取り出される確率が最大になるのは、白球が何回取り出されるときか答える。

1. 問題の内容

袋の中に白球20個、赤球30個が入っている。この袋から球を1つ取り出し、色を確認して袋に戻す操作を40回繰り返す。$n$回白球を取り出す確率を$p_n$とする。

(1) $0 \le n \le 39$のとき、$\frac{p_{n+1}}{p_n}$を$n$の式で表す。

(2) 白球を取り出される確率が最大になるのは、白球が何回取り出されるときか答える。

2. 解き方の手順

(1)

$p_n$は、40回の試行で白球を$n$回取り出す確率なので、二項分布に従う。

$p_n = \binom{40}{n} (\frac{20}{50})^n (\frac{30}{50})^{40-n} = \binom{40}{n} (\frac{2}{5})^n (\frac{3}{5})^{40-n}$

$p_{n+1} = \binom{40}{n+1} (\frac{2}{5})^{n+1} (\frac{3}{5})^{40-(n+1)} = \binom{40}{n+1} (\frac{2}{5})^{n+1} (\frac{3}{5})^{39-n}$

よって、

$\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{\binom{40}{n+1} (\frac{2}{5})^{n+1} (\frac{3}{5})^{39-n}}{\binom{40}{n} (\frac{2}{5})^n (\frac{3}{5})^{40-n}} = \frac{\frac{40!}{(n+1)!(40-n-1)!} (\frac{2}{5})^{n+1} (\frac{3}{5})^{39-n}}{\frac{40!}{n!(40-n)!} (\frac{2}{5})^n (\frac{3}{5})^{40-n}}$

$= \frac{n!(40-n)!}{(n+1)!(39-n)!} \cdot \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{40-n}{n+1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2(40-n)}{3(n+1)}$

(2)

$p_n$が最大になるのは、$p_{n+1} > p_n$ かつ $p_{n+2} < p_{n+1}$となる$n$を求める。

$\frac{p_{n+1}}{p_n} > 1$のとき、$p_{n+1} > p_n$

$\frac{2(40-n)}{3(n+1)} > 1$

$80 - 2n > 3n + 3$

$77 > 5n$

$n < \frac{77}{5} = 15.4$

$\frac{p_{n+1}}{p_n} < 1$のとき、$p_{n+1} < p_n$

$\frac{2(40-n)}{3(n+1)} < 1$

$80 - 2n < 3n + 3$

$77 < 5n$

$n > \frac{77}{5} = 15.4$

したがって、$n=15$のとき、$p_{n+1} > p_n$、つまり、$p_{16} > p_{15}$であり、$n=16$のとき、$p_{n+1} < p_n$、つまり、$p_{17} < p_{16}$である。

したがって、$n=16$のとき、$p_n$は最大となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{2(40-n)}{3(n+1)}$

(2) 16回