3桁の整数があり、以下の条件を満たす。 * 百の位の数は一の位の数の2倍である。 * 各位の数の和は16である。 * この整数から297を引くと、各位の数の順序が逆になる。 この整数を求める。十の位の数を$x$, 一の位の数を$y$とおき、連立方程式を立てて解く。

1. 問題の内容

3桁の整数があり、以下の条件を満たす。

* 百の位の数は一の位の数の2倍である。

* 各位の数の和は16である。

* この整数から297を引くと、各位の数の順序が逆になる。

この整数を求める。十の位の数を$x$, 一の位の数を$y$とおき、連立方程式を立てて解く。

2. 解き方の手順

まず、3桁の整数を$100z + 10x + y$と表す。ここで、$z$は百の位の数である。

問題文の条件より、$z = 2y$である。また、各位の和は16なので、

$z + x + y = 16$。$z=2y$を代入すると、$2y + x + y = 16$となり、

$x + 3y = 16$

また、この整数から297を引くと、各位の数が逆になるので、

$100z + 10x + y - 297 = 100y + 10x + z$

これを整理すると、$99z - 99y = 297$

両辺を99で割ると、$z - y = 3$。$z=2y$を代入すると、$2y - y = 3$より、$y=3$

$y=3$を$x + 3y = 16$に代入すると、$x + 3(3) = 16$なので、$x + 9 = 16$より、$x = 7$

よって、$x = 7$, $y = 3$, $z = 2y = 2(3) = 6$

求める整数は$100z + 10x + y = 100(6) + 10(7) + 3 = 600 + 70 + 3 = 673$

連立方程式は以下のようになる。

$\begin{cases}

x + 3y = 16 \\

2y - y = 3

\end{cases}$

$673 - 297 = 376$ となり確かに数字の順番が逆になっている

3. 最終的な答え

$\begin{cases}

x + 3y = 16 \\

2y - y = 3

\end{cases}$

x = 7, y = 3

よって、求める整数は 673 である。