問題は、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを、与えられたベン図を用いて確認することです。図[1]は$\overline{A}$、図[2]は$\overline{B}$、図[3]は$\overline{A} \cap \overline{B}$を表しています。

1. 問題の内容

問題は、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを、与えられたベン図を用いて確認することです。図[1]は$\overline{A}$、図[2]は$\overline{B}$、図[3]は$\overline{A} \cap \overline{B}$を表しています。

2. 解き方の手順

ド・モルガンの法則により、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$が成り立ちます。

左辺$\overline{A \cap B}$は、$A \cap B$の補集合です。つまり、AとB両方に含まれる要素以外は全て含まれます。

右辺$\overline{A} \cup \overline{B}$は、Aの補集合とBの補集合の和集合です。つまり、Aに含まれない要素とBに含まれない要素をすべて集めたものです。

図[1]は、集合Aの補集合$\overline{A}$を表しています。つまり、全体集合Uから集合Aを取り除いた部分です。

図[2]は、集合Bの補集合$\overline{B}$を表しています。つまり、全体集合Uから集合Bを取り除いた部分です。

図[3]は、$\overline{A} \cap \overline{B}$ではありません。$\overline{A \cap B}$を描画すると、AとBの共通部分を除いた部分が塗りつぶされるはずです。しかし、問題文では$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$を検証するように指示されているため、右辺である$\overline{A} \cup \overline{B}$を描画します。$\overline{A} \cup \overline{B}$は、$\overline{A}$または$\overline{B}$に含まれる要素全てを合わせた集合です。つまり、図[1]の塗りつぶされた部分と図[2]の塗りつぶされた部分を合わせた領域が$\overline{A} \cup \overline{B}$を表します。この領域はAとBの両方に含まれる部分を除いた領域全体です。したがって、これは$\overline{A \cap B}$と等しくなります。

3. 最終的な答え

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ は、図を用いることで確認できました。