全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、以下の情報が与えられています。 $n(U) = 100$ $n(A) = 60$ $n(B) = 48$ (1) $n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求めなさい。 (2) $n(\overline{A} \cap B)$ の最大値と最小値を求めなさい。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、以下の情報が与えられています。

$n(U) = 100$

$n(A) = 60$

$n(B) = 48$

(1) $n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求めなさい。

(2) $n(\overline{A} \cap B)$ の最大値と最小値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $n(A \cap B)$ について:

* 最大値: $A \cap B$ が最大になるのは、$B$ が $A$ に完全に含まれるときです。ただし、$n(B)$ は $n(A)$ より小さいため、$B$ は $A$ に含まれることができます。したがって、$n(A \cap B)$ の最大値は $n(B) = 48$ です。

* 最小値: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$の関係を用います。$A \cup B$ は $U$ の部分集合なので、$n(A \cup B) \le n(U)$ である必要があります。

したがって、$n(A) + n(B) - n(A \cap B) \le n(U)$ となります。

$60 + 48 - n(A \cap B) \le 100$

$108 - n(A \cap B) \le 100$

$8 \le n(A \cap B)$

したがって、$n(A \cap B)$ の最小値は $8$ です。

(2) $n(\overline{A} \cap B)$ について:

* $n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$ の関係を用います。

* 最大値: $n(A \cap B)$ が最小のとき、$n(\overline{A} \cap B)$ が最大になります。(1)より、$n(A \cap B)$の最小値は$8$なので、$n(\overline{A} \cap B)$ の最大値は $n(B) - 8 = 48 - 8 = 40$ です。

* 最小値: $n(A \cap B)$ が最大のとき、$n(\overline{A} \cap B)$ が最小になります。(1)より、$n(A \cap B)$の最大値は$48$なので、$n(\overline{A} \cap B)$ の最小値は $n(B) - 48 = 48 - 48 = 0$ です。

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B)$ の最大値は 48、最小値は 8

(2) $n(\overline{A} \cap B)$ の最大値は 40、最小値は 0