与えられた数列の第1000項を求め、さらに初項から第1000項までの和を求める問題です。数列は、1が1個、2が3個、3が5個、4が7個、...と、奇数個ずつ同じ数が並ぶ数列です。

1. 問題の内容

与えられた数列の第1000項を求め、さらに初項から第1000項までの和を求める問題です。数列は、1が1個、2が3個、3が5個、4が7個、...と、奇数個ずつ同じ数が並ぶ数列です。

2. 解き方の手順

第n項まで並んでいる項の数を $N_n$ とします。このとき、

$N_n = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)$

これは初項1、公差2の等差数列の和なので、

$N_n = \frac{n}{2} \{2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 2 \} = \frac{n}{2}(2 + 2n - 2) = n^2$

したがって、$N_n = n^2$となります。

1000項目に現れる数は、

$N_{22} = 22^2 = 484$

$N_{23} = 23^2 = 529$

$N_{30} = 30^2 = 900$

$N_{31} = 31^2 = 961$

$N_{32} = 32^2 = 1024$

よって、$N_{31} < 1000 \le N_{32}$ なので、第1000項は32となります。

次に、初項から第1000項までの和を求めます。

数列は $1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, ...$ となっています。

各数字$k$が$2k-1$個並んでいます。

第1000項が32であることから、$k=31$まではすべて並びきっており、$k=32$は一部分だけが現れます。

$1^2 = 1$から$31^2 = 961$までの和は、

$S = \sum_{k=1}^{31} k(2k-1) = \sum_{k=1}^{31} (2k^2 - k) = 2 \sum_{k=1}^{31} k^2 - \sum_{k=1}^{31} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

を用いると、

$S = 2 \cdot \frac{31(31+1)(2\cdot 31 + 1)}{6} - \frac{31(31+1)}{2} = 2 \cdot \frac{31 \cdot 32 \cdot 63}{6} - \frac{31 \cdot 32}{2} = \frac{31 \cdot 32}{6} (2 \cdot 63 - 3) = \frac{31 \cdot 32}{6} (126 - 3) = \frac{31 \cdot 32 \cdot 123}{6} = 31 \cdot 16 \cdot 41 = 16 \cdot 1271 = 20336$

962項目から1000項目まではすべて32なので、$1000 - 961 = 39$ 個の32が並びます。

したがって、

$32 \cdot 39 = 1248$

よって、初項から第1000項までの和は、

$20336 + 1248 = 21584$

3. 最終的な答え

第1000項: 32

初項から第1000項までの和: 21584