問題は、次の級数の和を求めることです。 (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}$

1. 問題の内容

問題は、次の級数の和を求めることです。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}$

2. 解き方の手順

この級数は、部分分数分解を利用して解くことができます。

$\frac{1}{n(n+3)}$を部分分数分解すると、次のようになります。

$\frac{1}{n(n+3)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+3}$

両辺に$n(n+3)$をかけると、

$1 = A(n+3) + Bn$

$1 = (A+B)n + 3A$

したがって、$A+B=0$かつ$3A=1$となるので、$A = \frac{1}{3}$、$B = -\frac{1}{3}$となります。

よって、

$\frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+3}\right)$

級数は、次のようになります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+3}\right)$

部分和$S_N$を考えると、

$S_N = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+3}\right)$

$S_N = \frac{1}{3} \left[\left(1 - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{9}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N-2} - \frac{1}{N+1}\right) + \left(\frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+2}\right) + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+3}\right)\right]$

多くの項が相殺されるので、

$S_N = \frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3}\right)$

$N \to \infty$のとき、$\frac{1}{N+1}, \frac{1}{N+2}, \frac{1}{N+3}$は0に近づくので、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{6+3+2}{6}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{18}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{18}$