与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (-3y - 1)x + (2y^2 + 5y - 12)$

次に、$2y^2 + 5y - 12$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 12 = (2y - 3)(y + 4)$

したがって、与えられた式は次のように書けます。

$x^2 + (-3y - 1)x + (2y - 3)(y + 4)$

この式を因数分解できると仮定すると、次の形式になります。

$(x + ay + b)(x + cy + d)$

ここで、$a$, $b$, $c$, $d$ は定数です。展開すると、

$x^2 + (a + c)xy + (b + d)x + acy^2 + (ad + bc)y + bd$

与えられた式と比較すると、

$a + c = -3$

$b + d = -1$

$ac = 2$

$ad + bc = 5$

$bd = -12$

$ac = 2$より、$(a, c) = (1, 2)$ または $(a, c) = (2, 1)$ のいずれかです。

もし $a = 1$, $c = 2$ の場合、$a + c = 3 \ne -3$ なので、これは正しくありません。したがって、$a = -1$, $c = -2$とします。

$a + c = -1 + (-2) = -3$

$ad + bc = 5$ なので、$(-1)d + b(-2) = 5$ つまり $-d - 2b = 5$

$b + d = -1$ なので、$d = -1 - b$

$-(-1 - b) - 2b = 5$

$1 + b - 2b = 5$

$-b = 4$

$b = -4$

$d = -1 - (-4) = 3$

$bd = (-4)(3) = -12$ となり、これは条件を満たしています。

したがって、因数分解の結果は $(x - y - 4)(x - 2y + 3)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x - y - 4)(x - 2y + 3)$