$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2k$

## 問題の内容

次の2つの和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (2k + 4 - 3k^2)$

## 解き方の手順

### (1) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k)$ の解き方

1. $\sum$ の性質を利用して、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2k$

2. さらに、定数倍は $\sum$ の外に出せます。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2k = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k$

3. $\sum k^2$ と $\sum k$ の公式を利用します。

- $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

- $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

4. 公式を代入します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

5. 整理します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1+6)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

### (2) $\sum_{k=1}^{n} (2k + 4 - 3k^2)$ の解き方

1. $\sum$ の性質を利用して、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k + 4 - 3k^2) = \sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} 4 - \sum_{k=1}^{n} 3k^2$

2. 定数倍は $\sum$ の外に出せます。

$\sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} 4 - \sum_{k=1}^{n} 3k^2 = 2\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1 - 3\sum_{k=1}^{n} k^2$

3. $\sum k$, $\sum 1$, $\sum k^2$ の公式を利用します。

- $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

- $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

- $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

4. 公式を代入します。

$2\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1 - 3\sum_{k=1}^{n} k^2 = 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} + 4n - 3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

5. 整理します。

$n(n+1) + 4n - \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} = \frac{2n(n+1) + 8n - n(n+1)(2n+1)}{2}$

$= \frac{2n^2 + 2n + 8n - n(2n^2 + 3n + 1)}{2} = \frac{2n^2 + 10n - 2n^3 - 3n^2 - n}{2}$

$= \frac{-2n^3 - n^2 + 9n}{2} = \frac{n(-2n^2 - n + 9)}{2}$

## 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

(2) $\frac{n(-2n^2 - n + 9)}{2}$