複素数 $\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$ を極形式 $\sqrt{3} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right)$ で表すことを確認、あるいはこの等式を示す問題です。

1. 問題の内容

複素数 $\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$ を極形式 $\sqrt{3} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right)$ で表すことを確認、あるいはこの等式を示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた複素数を極形式に変換することを考えます。複素数 $z = a+bi$ の極形式は $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表され、ここで $r = \sqrt{a^2+b^2}$ は絶対値（または modulus）で、$\theta$ は偏角（または argument）です。

1. 与えられた複素数 $z = \frac{3-\sqrt{3}i}{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ について、絶対値 $r$ を計算します。

$r = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

2. 偏角 $\theta$ を求めます。$\cos\theta = \frac{a}{r}$ と $\sin\theta = \frac{b}{r}$ を用いて、$\theta$ を決定します。

$\cos\theta = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は $\theta = -\frac{\pi}{6}$ です。

3. したがって、複素数 $z = \frac{3-\sqrt{3}i}{2}$ の極形式は $\sqrt{3}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$ となります。

4. 与えられた等式が正しいことを確認します。

3. 最終的な答え

与えられた等式

$\frac{3-\sqrt{3}i}{2} = \sqrt{3} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right)$

は正しいです。