与えられた数列の和を計算します。問題は$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 6k)$を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。問題は$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 6k)$を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、シグマ記号を分配します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 6k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 6\sum_{k=1}^{n} k$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^3$と$\sum_{k=1}^{n} k$の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

これらの公式を適用すると、次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 - 6\sum_{k=1}^{n} k = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)$

式を簡略化します。

$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{6n(n+1)}{2}$

$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 3n(n+1)$

$= \frac{n^2(n^2 + 2n + 1)}{4} - 3n^2 - 3n$

$= \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4} - \frac{12n^2 + 12n}{4}$

$= \frac{n^4 + 2n^3 + n^2 - 12n^2 - 12n}{4}$

$= \frac{n^4 + 2n^3 - 11n^2 - 12n}{4}$

$= \frac{n(n^3 + 2n^2 - 11n - 12)}{4}$

$= \frac{n(n+1)(n^2+n-12)}{4}$

$= \frac{n(n+1)(n+4)(n-3)}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+4)(n-3)}{4}$