数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = -\frac{1}{2}$ であり、漸化式 $(n+3)(n+2)a_{n+2} + (n+2)(n+1)a_{n+1} = na_n$ を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) $b_n = na_n$ として、$b_1, b_2, b_3, b_4$ の値を求め、$b_n$ を推定します。 (2) (1) で求めた $b_n$ が正しいことを数学的帰納法で証明し、$a_n$ を求めます。

以下に、与えられた問題の解答を示します。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = -\frac{1}{2}$ であり、漸化式 $(n+3)(n+2)a_{n+2} + (n+2)(n+1)a_{n+1} = na_n$ を満たすとき、以下の問いに答えます。

(1) $b_n = na_n$ として、$b_1, b_2, b_3, b_4$ の値を求め、$b_n$ を推定します。

(2) (1) で求めた $b_n$ が正しいことを数学的帰納法で証明し、$a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = na_n$ より、

$b_1 = 1 \cdot a_1 = 1 \cdot 1 = 1$

$b_2 = 2 \cdot a_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$

漸化式を変形して、$a_{n+2}$ を求めます。

$(n+3)(n+2)a_{n+2} = na_n - (n+2)(n+1)a_{n+1}$

$a_{n+2} = \frac{na_n - (n+2)(n+1)a_{n+1}}{(n+3)(n+2)}$

$n=1$ のとき、

$a_3 = \frac{1 \cdot a_1 - (1+2)(1+1)a_2}{(1+3)(1+2)} = \frac{1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2})}{4 \cdot 3} = \frac{1 + 3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

したがって、$b_3 = 3 \cdot a_3 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$

$n=2$ のとき、

$a_4 = \frac{2 \cdot a_2 - (2+2)(2+1)a_3}{(2+3)(2+2)} = \frac{2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 4 \cdot 3 \cdot (\frac{1}{3})}{5 \cdot 4} = \frac{-1 - 4}{20} = \frac{-5}{20} = -\frac{1}{4}$

したがって、$b_4 = 4 \cdot a_4 = 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -1$

$b_1=1, b_2=-1, b_3=1, b_4=-1$ より、$b_n = (-1)^{n+1}$ と推定できます。

(2) 数学的帰納法で $b_n = (-1)^{n+1}$ を証明します。

(i) $n=1$ のとき、$b_1 = 1 \cdot a_1 = 1$ であり、 $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$ なので成立します。

$n=2$ のとき、$b_2 = 2 \cdot a_2 = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$ であり、 $(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1$ なので成立します。

(ii) $n=k$, $n=k+1$ のとき、$b_k = (-1)^{k+1}$、$b_{k+1} = (-1)^{k+2}$ が成立すると仮定します。

$b_k = ka_k$, $b_{k+1} = (k+1)a_{k+1}$ より、$a_k = \frac{(-1)^{k+1}}{k}$, $a_{k+1} = \frac{(-1)^{k+2}}{k+1}$ が成立します。

漸化式 $(n+3)(n+2)a_{n+2} + (n+2)(n+1)a_{n+1} = na_n$ において、$n=k$ とすると、

$(k+3)(k+2)a_{k+2} + (k+2)(k+1)a_{k+1} = ka_k$

$(k+3)(k+2)a_{k+2} = ka_k - (k+2)(k+1)a_{k+1}$

$a_{k+2} = \frac{ka_k - (k+2)(k+1)a_{k+1}}{(k+3)(k+2)} = \frac{k \cdot \frac{(-1)^{k+1}}{k} - (k+2)(k+1) \cdot \frac{(-1)^{k+2}}{k+1}}{(k+3)(k+2)}$

$a_{k+2} = \frac{(-1)^{k+1} - (k+2)(-1)^{k+2}}{(k+3)(k+2)} = \frac{(-1)^{k+1} - (k+2)(-1)^{k+1}(-1)}{(k+3)(k+2)} = \frac{(-1)^{k+1} + (k+2)(-1)^{k+1}}{(k+3)(k+2)}$

$a_{k+2} = \frac{(-1)^{k+1}(1 + k + 2)}{(k+3)(k+2)} = \frac{(-1)^{k+1}(k+3)}{(k+3)(k+2)} = \frac{(-1)^{k+1}}{k+2}$

したがって、$b_{k+2} = (k+2)a_{k+2} = (k+2) \cdot \frac{(-1)^{k+1}}{k+2} = (-1)^{k+1} = (-1)^{(k+2)+1}$

したがって、$n=k+2$ のときも成立します。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して、$b_n = (-1)^{n+1}$ が成立します。

$b_n = na_n$ より、$a_n = \frac{b_n}{n} = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

3. 最終的な答え

$b_1 = 1, b_2 = -1, b_3 = 1, b_4 = -1$

$b_n = (-1)^{n+1}$

$a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$