問題は、複素数 $\omega$ に関する方程式 $(i\omega - 1)(\overline{i\omega - 1}) = 2(\omega - 1)(\overline{\omega - 1})$ を整理することです。ここで、$\overline{z}$ は複素数 $z$ の共役複素数を表します。

1. 問題の内容

問題は、複素数 $\omega$ に関する方程式 $(i\omega - 1)(\overline{i\omega - 1}) = 2(\omega - 1)(\overline{\omega - 1})$ を整理することです。ここで、$\overline{z}$ は複素数 $z$ の共役複素数を表します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を展開します。

左辺:

$(i\omega - 1)(\overline{i\omega - 1}) = (i\omega - 1)(\overline{i\omega} - 1) = (i\omega - 1)(-i\overline{\omega} - 1) = -i^2\omega\overline{\omega} - i\omega + i\overline{\omega} + 1 = \omega\overline{\omega} - i\omega + i\overline{\omega} + 1 = |\omega|^2 - i(\omega - \overline{\omega}) + 1$

右辺:

$2(\omega - 1)(\overline{\omega - 1}) = 2(\omega - 1)(\overline{\omega} - 1) = 2(\omega\overline{\omega} - \omega - \overline{\omega} + 1) = 2(\omega\overline{\omega} - (\omega + \overline{\omega}) + 1) = 2(|\omega|^2 - (\omega + \overline{\omega}) + 1)$

したがって、方程式は次のようになります。

$|\omega|^2 - i(\omega - \overline{\omega}) + 1 = 2(|\omega|^2 - (\omega + \overline{\omega}) + 1)$

$|\omega|^2 - i(\omega - \overline{\omega}) + 1 = 2|\omega|^2 - 2(\omega + \overline{\omega}) + 2$

$0 = |\omega|^2 + i(\omega - \overline{\omega}) - 2(\omega + \overline{\omega}) + 1$

ここで、$\omega = x + iy$ とおくと、$\overline{\omega} = x - iy$ であり、$|\omega|^2 = x^2 + y^2$ です。

$\omega - \overline{\omega} = (x + iy) - (x - iy) = 2iy$

$\omega + \overline{\omega} = (x + iy) + (x - iy) = 2x$

したがって、方程式は次のようになります。

$0 = x^2 + y^2 + i(2iy) - 2(2x) + 1$

$0 = x^2 + y^2 - 2y - 4x + 1$

$x^2 - 4x + y^2 - 2y + 1 = 0$

平方完成を行うと

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 4$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2$

これは、中心が $(2, 1)$ で半径が $2$ の円の方程式です。

3. 最終的な答え

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$

あるいは、

$(\omega-2)(\overline{\omega}-2) + (\omega-1)(\overline{\omega}-1) = 4$

最終的な答えは $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$　です。