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与えられた行列 $A, B, C, D$ を用いて、$DC$, ${}^tCB$, $DB - A$ を計算します。 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

代数学行列行列の計算転置行列行列の積行列の減算
2025/5/28

1. 問題の内容

与えられた行列 A,B,C,DA, B, C, D を用いて、DCDC, tCB{}^tCB, DB−ADB - A を計算します。
A=(1−2−31),B=(6−1−3125),C=(4−23),D=(210−342)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

(1) DCDC の計算
DD は 2×32 \times 3 行列、CC は 3×13 \times 1 行列なので、DCDC は 2×12 \times 1 行列になります。
DC=(210−342)(4−23)=(2(4)+1(−2)+0(3)−3(4)+4(−2)+2(3))=(8−2+0−12−8+6)=(6−14)DC = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(4) + 1(-2) + 0(3) \\ -3(4) + 4(-2) + 2(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 2 + 0 \\ -12 - 8 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -14 \end{pmatrix}
(2) tCB{}^tCB の計算
まず、CC の転置行列 tC{}^tC を求めます。
tC=(4−23){}^tC = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 3 \end{pmatrix}
tC{}^tC は 1×31 \times 3 行列、BB は 3×23 \times 2 行列なので、tCB{}^tCB は 1×21 \times 2 行列になります。
tCB=(4−23)(6−1−3125)=(4(6)+(−2)(−3)+3(2)4(−1)+(−2)(1)+3(5))=(24+6+6−4−2+15)=(369){}^tCB = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(6) + (-2)(-3) + 3(2) & 4(-1) + (-2)(1) + 3(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 + 6 + 6 & -4 - 2 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 36 & 9 \end{pmatrix}
(3) DB−ADB - A の計算
まず、DBDB を計算します。DD は 2×32 \times 3 行列、BB は 3×23 \times 2 行列なので、DBDB は 2×22 \times 2 行列になります。
DB=(210−342)(6−1−3125)=(2(6)+1(−3)+0(2)2(−1)+1(1)+0(5)−3(6)+4(−3)+2(2)−3(−1)+4(1)+2(5))=(12−3+0−2+1+0−18−12+43+4+10)=(9−1−2617)DB = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(6) + 1(-3) + 0(2) & 2(-1) + 1(1) + 0(5) \\ -3(6) + 4(-3) + 2(2) & -3(-1) + 4(1) + 2(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 - 3 + 0 & -2 + 1 + 0 \\ -18 - 12 + 4 & 3 + 4 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -1 \\ -26 & 17 \end{pmatrix}
次に、DB−ADB - A を計算します。
DB−A=(9−1−2617)−(1−2−31)=(9−1−1−(−2)−26−(−3)17−1)=(81−2316)DB - A = \begin{pmatrix} 9 & -1 \\ -26 & 17 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 1 & -1 - (-2) \\ -26 - (-3) & 17 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ -23 & 16 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

DC=(6−14)DC = \begin{pmatrix} 6 \\ -14 \end{pmatrix}
tCB=(369){}^tCB = \begin{pmatrix} 36 & 9 \end{pmatrix}
DB−A=(81−2316)DB - A = \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ -23 & 16 \end{pmatrix}

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