複素数 $z = 3 - 2i$ を原点を中心として$-\frac{\pi}{3}$回転させた点を表す複素数を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = 3 - 2i$ を原点を中心として$-\frac{\pi}{3}$回転させた点を表す複素数を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を$\theta$回転させた複素数は、$z(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表されます。

今回の場合は、$z = 3 - 2i$ を $\theta = -\frac{\pi}{3}$ 回転させるので、求める複素数は、

$(3-2i)\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$ となります。

$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

であるから、

$(3-2i)\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = (3-2i)\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

$= \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i - i + \sqrt{3}i^2$

$= \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i - i - \sqrt{3}$

$= \left(\frac{3}{2} - \sqrt{3}\right) + \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2} - 1\right)i$

$= \frac{3-2\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}+2}{2}i$

3. 最終的な答え

$\frac{3-2\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}+2}{2}i$