与えられた2次関数の最大値、または最小値を求めよ。 (1) $y = 3x^2 + 2$ (2) $y = -(x-1)^2 + 5$ (3) $y = x^2 - 4x - 4$ (4) $y = -x^2 + 6x + 1$ (5) $y = x^2 + 5x + 4$ (6) $y = -2x^2 + 3x - 1$

1. 問題の内容

与えられた2次関数の最大値、または最小値を求めよ。

(1) $y = 3x^2 + 2$

(2) $y = -(x-1)^2 + 5$

(3) $y = x^2 - 4x - 4$

(4) $y = -x^2 + 6x + 1$

(5) $y = x^2 + 5x + 4$

(6) $y = -2x^2 + 3x - 1$

2. 解き方の手順

各2次関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求める。

$y = a(x-p)^2 + q$ の形式に変形すると、頂点の座標は $(p, q)$ となる。

* $a > 0$ のとき、下に凸のグラフとなり、最小値 $q$ を持つ。最大値は存在しない。

* $a < 0$ のとき、上に凸のグラフとなり、最大値 $q$ を持つ。最小値は存在しない。

(1) $y = 3x^2 + 2 = 3(x-0)^2 + 2$

頂点は $(0, 2)$ で、$a=3 > 0$ なので、最小値は $2$。最大値はなし。

(2) $y = -(x-1)^2 + 5$

頂点は $(1, 5)$ で、$a=-1 < 0$ なので、最大値は $5$。最小値はなし。

(3) $y = x^2 - 4x - 4 = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 4 = (x-2)^2 - 8$

頂点は $(2, -8)$ で、$a=1 > 0$ なので、最小値は $-8$。最大値はなし。

(4) $y = -x^2 + 6x + 1 = -(x^2 - 6x + 9) + 1 + 9 = -(x-3)^2 + 10$

頂点は $(3, 10)$ で、$a=-1 < 0$ なので、最大値は $10$。最小値はなし。

(5) $y = x^2 + 5x + 4 = (x^2 + 5x + \frac{25}{4}) + 4 - \frac{25}{4} = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}$

頂点は $(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$ で、$a=1 > 0$ なので、最小値は $-\frac{9}{4}$。最大値はなし。

(6) $y = -2x^2 + 3x - 1 = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 1 = -2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) - 1 + 2 \cdot \frac{9}{16} = -2(x - \frac{3}{4})^2 - 1 + \frac{9}{8} = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$

頂点は $(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$ で、$a=-2 < 0$ なので、最大値は $\frac{1}{8}$。最小値はなし。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $2$, 最大値: なし

(2) 最大値: $5$, 最小値: なし

(3) 最小値: $-8$, 最大値: なし

(4) 最大値: $10$, 最小値: なし

(5) 最小値: $-\frac{9}{4}$, 最大値: なし

(6) 最大値: $\frac{1}{8}$, 最小値: なし