与えられた多項式を因数分解する問題です。今回は、(3) $x^2 - 2xy + y^2 - x + y - 2$、(4) $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$、(6) $2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6$ の3つの式を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。今回は、(3) $x^2 - 2xy + y^2 - x + y - 2$、(4) $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$、(6) $2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6$ の3つの式を因数分解します。

2. 解き方の手順

(3) $x^2 - 2xy + y^2 - x + y - 2$ を因数分解する。

まず、$x$と$y$を含む項を整理すると、$(x-y)^2$の形が見えてきます。そこで、

$x - y = A$ とおくと、

$x^2 - 2xy + y^2 - x + y - 2 = (x-y)^2 - (x-y) - 2 = A^2 - A - 2$

これは、$A$についての二次式なので因数分解できます。

$A^2 - A - 2 = (A-2)(A+1)$

ここで、$A = x-y$ を代入すると、

$(A-2)(A+1) = (x-y-2)(x-y+1)$

(4) $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を因数分解する。

まず、$x$についての二次式と見て、因数分解を試みます。$2x^2 + 5xy + 2y^2$の部分は$(2x+y)(x+2y)$と因数分解できます。

そこで、$(2x+y+a)(x+2y+b)$の形になることを期待して、展開してみます。

$(2x+y+a)(x+2y+b) = 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2b+a)x + (b+2a)y + ab$

与えられた式と比較すると、以下の連立方程式が成り立ちます。

$2b+a = 4$

$b+2a = -1$

$ab = -6$

この連立方程式を解くと、$a = -2, b = 3$ が得られます。

よって、

$2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6 = (2x+y-2)(x+2y+3)$

(6) $2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6$ を因数分解する。

まず、$x$についての二次式と見て、因数分解を試みます。$2x^2 + 5xy - 3y^2$の部分は$(2x-y)(x+3y)$と因数分解できます。

そこで、$(2x-y+a)(x+3y+b)$の形になることを期待して、展開してみます。

$(2x-y+a)(x+3y+b) = 2x^2 + 5xy - 3y^2 + (2b+a)x + (3a-b)y + ab$

与えられた式と比較すると、以下の連立方程式が成り立ちます。

$2b+a = -1$

$3a-b = 11$

$ab = -6$

この連立方程式を解くと、$a = 3, b = -2$ が得られます。

よって、

$2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6 = (2x-y+3)(x+3y-2)$

3. 最終的な答え

(3) $(x-y-2)(x-y+1)$

(4) $(2x+y-2)(x+2y+3)$

(6) $(2x-y+3)(x+3y-2)$