与えられた対数方程式を解く問題です。具体的には以下の5つの問題を解きます。 (a) $\log_{10} x = -2$ (b) $\log_2 (3x+2) = 5$ (c) $\log_3 \sqrt{x-2} = 1$ (d) $\log_2 (x-1) = \log_4 (x-2) + 1$ (e) $(\log_2 x)^2 = \log_2 x^3$

1. 問題の内容

与えられた対数方程式を解く問題です。具体的には以下の5つの問題を解きます。

(a) $\log_{10} x = -2$

(b) $\log_2 (3x+2) = 5$

(c) $\log_3 \sqrt{x-2} = 1$

(d) $\log_2 (x-1) = \log_4 (x-2) + 1$

(e) $(\log_2 x)^2 = \log_2 x^3$

2. 解き方の手順

(a) $\log_{10} x = -2$ の場合:

対数の定義より、$x = 10^{-2}$ となります。

$x = \frac{1}{100} = 0.01$

(b) $\log_2 (3x+2) = 5$ の場合:

対数の定義より、$3x+2 = 2^5$ となります。

$3x + 2 = 32$

$3x = 30$

$x = 10$

(c) $\log_3 \sqrt{x-2} = 1$ の場合:

対数の定義より、$\sqrt{x-2} = 3^1$ となります。

$\sqrt{x-2} = 3$

両辺を2乗すると、$x-2 = 9$ となります。

$x = 11$

(d) $\log_2 (x-1) = \log_4 (x-2) + 1$ の場合:

底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いて、右辺の底を2に変換します。

$\log_4 (x-2) = \frac{\log_2 (x-2)}{\log_2 4} = \frac{\log_2 (x-2)}{2}$

したがって、$\log_2 (x-1) = \frac{1}{2} \log_2 (x-2) + 1$ となります。

$\log_2 (x-1) = \log_2 \sqrt{x-2} + \log_2 2$

$\log_2 (x-1) = \log_2 (2\sqrt{x-2})$

真数を比較して、$x-1 = 2\sqrt{x-2}$

両辺を2乗すると、$(x-1)^2 = 4(x-2)$ となります。

$x^2 - 2x + 1 = 4x - 8$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x=3$

ここで、$x=3$を元の式に代入すると、$\log_2 (3-1) = \log_2 2 = 1$、$\log_4 (3-2) + 1 = \log_4 1 + 1 = 0+1=1$となり、成立します。

(e) $(\log_2 x)^2 = \log_2 x^3$ の場合:

$(\log_2 x)^2 = 3 \log_2 x$

$(\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x = 0$

$\log_2 x (\log_2 x - 3) = 0$

$\log_2 x = 0$ または $\log_2 x = 3$

$x = 2^0 = 1$ または $x = 2^3 = 8$

3. 最終的な答え

(a) $x = 0.01$

(b) $x = 10$

(c) $x = 11$

(d) $x = 3$

(e) $x = 1, 8$