数列 $\sum_{k=1}^{n} (3k+1)(2k-3)$ を計算して、その値を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\sum_{k=1}^{n} (3k+1)(2k-3)$ を計算して、その値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$(3k+1)(2k-3)$を展開します。

$(3k+1)(2k-3) = 6k^2 -9k + 2k - 3 = 6k^2 -7k - 3$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 7k - 3)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 7k - 3) = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k - 3\sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、次の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$6\sum_{k=1}^{n} k^2 = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n^2 + n$

$7\sum_{k=1}^{n} k = 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{7n^2 + 7n}{2}$

$3\sum_{k=1}^{n} 1 = 3n$

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 7k - 3) = (2n^3 + 3n^2 + n) - (\frac{7n^2 + 7n}{2}) - 3n = 2n^3 + 3n^2 + n - \frac{7}{2}n^2 - \frac{7}{2}n - 3n$

$= 2n^3 + (3 - \frac{7}{2})n^2 + (1 - \frac{7}{2} - 3)n = 2n^3 + \frac{6-7}{2}n^2 + \frac{2-7-6}{2}n$

$= 2n^3 - \frac{1}{2}n^2 - \frac{11}{2}n = \frac{4n^3 - n^2 - 11n}{2} = \frac{n(4n^2 - n - 11)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n^2 - n - 11)}{2}$