問題は、$\sum_{k=1}^{n} (3k+1)(2k-3)$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$\sum_{k=1}^{n} (3k+1)(2k-3)$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$(3k+1)(2k-3)$ を展開します。

$(3k+1)(2k-3) = 6k^2 - 9k + 2k - 3 = 6k^2 - 7k - 3$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 7k - 3)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 7k - 3) = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k - 3\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k - 3\sum_{k=1}^{n} 1 = 6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 7\frac{n(n+1)}{2} - 3n$

$= n(n+1)(2n+1) - \frac{7}{2}n(n+1) - 3n$

$= n[(n+1)(2n+1) - \frac{7}{2}(n+1) - 3]$

$= n[2n^2 + 3n + 1 - \frac{7}{2}n - \frac{7}{2} - 3]$

$= n[2n^2 - \frac{1}{2}n - \frac{13}{2}]$

$= \frac{n}{2} [4n^2 - n - 13]$

$= \frac{4n^3 - n^2 - 13n}{2}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} (3k+1)(2k-3) = \frac{4n^3 - n^2 - 13n}{2}$

あるいは

$\sum_{k=1}^{n} (3k+1)(2k-3) = 2n^3 - \frac{1}{2}n^2 - \frac{13}{2}n$