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与えられた3x3行列式の値を求める問題です。行列式は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} $

代数学行列式線形代数行列式の計算
2025/5/26

1. 問題の内容

与えられた3x3行列式の値を求める問題です。行列式は以下の通りです。
\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix}

2. 解き方の手順

行列式の性質を利用して、計算を簡略化します。
まず、行列式を分解します。
\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a & a & a \\
b & b & b \\
c & c & c
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a & a & z \\
b & b & z \\
c & c & z
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a & y & a \\
b & y & b \\
c & y & c
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a & y & z \\
b & y & z \\
c & y & z
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
x & a & a \\
x & b & b \\
x & c & c
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
x & a & z \\
x & b & z \\
x & c & z
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
x & y & a \\
x & y & b \\
x & y & c
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
x & y & z \\
x & y & z \\
x & y & z
\end{vmatrix}
しかし、この分解は不適切なので、他の方法を試します。
行列式の性質として、ある列を定数倍して別の列に足しても、行列式の値は変わりません。
第1列から第2列を引きます。
\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
x-y & a+y & a+z \\
x-y & b+y & b+z \\
x-y & c+y & c+z
\end{vmatrix}
次に、第2列から第3列を引きます。
\begin{vmatrix}
x-y & a+y & a+z \\
x-y & b+y & b+z \\
x-y & c+y & c+z
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
x-y & y-z & a+z \\
x-y & y-z & b+z \\
x-y & y-z & c+z
\end{vmatrix}
次に、第1列を展開して、
(x−y)∣b+yb+zc+yc+z∣−(x−y)∣a+ya+zc+yc+z∣+(x−y)∣a+ya+zb+yb+z∣ (x-y) \begin{vmatrix} b+y & b+z \\ c+y & c+z \end{vmatrix} - (x-y)\begin{vmatrix} a+y & a+z \\ c+y & c+z \end{vmatrix} + (x-y) \begin{vmatrix} a+y & a+z \\ b+y & b+z \end{vmatrix}
この計算は複雑になるので、元の行列式を分解します。
\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a & a & a \\
b & b & b \\
c & c & c
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & a & a \\ x & b & b \\ x & c & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & y & a \\ b & y & b \\ c & y & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & a & z \\ b & b & z \\ c & c & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & a \\ x & y & b \\ x & y & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & a & z \\ x & b & z \\ x & c & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & y & z \\ b & y & z \\ c & y & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z \end{vmatrix}
上記行列式において、いずれかの列が等しい場合、行列式の値は0になります。したがって
\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a & a & a \\
b & b & b \\
c & c & c
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
x & y & z \\
x & y & z \\
x & y & z
\end{vmatrix} = 0
よって、与えられた行列式の値は0です。

3. 最終的な答え

0

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