与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (3k+1)(2k-3)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (3k+1)(2k-3)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、シグマの中の式を展開します。

$(3k+1)(2k-3) = 6k^2 -9k + 2k - 3 = 6k^2 - 7k - 3$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (3k+1)(2k-3) = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 7k - 3)$

シグマを分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 7k - 3) = 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 7 \sum_{k=1}^{n} k - 3 \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$6 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 7 \sum_{k=1}^{n} k - 3 \sum_{k=1}^{n} 1 = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 3n$

$= n(n+1)(2n+1) - \frac{7}{2} n(n+1) - 3n$

$= n \left[ (n+1)(2n+1) - \frac{7}{2} (n+1) - 3 \right]$

$= n \left[ 2n^2 + 3n + 1 - \frac{7}{2}n - \frac{7}{2} - 3 \right]$

$= n \left[ 2n^2 + 3n - \frac{7}{2}n + 1 - \frac{7}{2} - 3 \right]$

$= n \left[ 2n^2 - \frac{1}{2}n - \frac{11}{2} \right]$

$= \frac{n}{2} \left[ 4n^2 - n - 11 \right]$

$= \frac{4n^3 - n^2 - 11n}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4n^3 - n^2 - 11n}{2}$