四角形ABCDにおいて、$AB = 1 + \sqrt{3}$, $BC = 2$, $DA = 2\sqrt{2}$, $\angle A = 105^\circ$, $\angle B = 60^\circ$である。対角線ACの長さと四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$AB = 1 + \sqrt{3}$, $BC = 2$, $DA = 2\sqrt{2}$, $\angle A = 105^\circ$, $\angle B = 60^\circ$である。対角線ACの長さと四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$において、余弦定理を用いてACの長さを求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle B}$

$AC^2 = (1 + \sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot (1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \cos{60^\circ}$

$AC^2 = (1 + 2\sqrt{3} + 3) + 4 - 4(1 + \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2(1 + \sqrt{3})$

$AC^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$AC^2 = 6$

$AC = \sqrt{6}$

(2) $\triangle ABC$の面積を求める。

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{\angle B}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \sin{60^\circ}$

$S_{\triangle ABC} = (1 + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

(3) $\triangle ADC$において、余弦定理を用いて$\angle D$を求める。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle D}$

$6 = (2\sqrt{2})^2 + CD^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot CD \cdot \cos{\angle D}$

また、四角形の内角の和は360°であるから、

$\angle C = 360^\circ - \angle A - \angle B - \angle D$

$\angle C = 360^\circ - 105^\circ - 60^\circ - \angle D = 195^\circ - \angle D$

$\angle CAD + \angle ACD = 180^\circ - \angle D$

しかし、$\triangle ADC$について、ACの長さ、ADの長さがわかっているので、$\angle A$がわかれば$\angle D$が求まる。

ここで、$\angle BAC = 105^\circ$なので、$\angle CAD = 105^\circ - \angle CAB$。$\angle CAB$がわかれば$\angle CAD$がわかる。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = \frac{AC}{\sin{\angle B}}$ なので、

$\frac{2}{\sin{\angle CAB}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin{60^\circ}}$

$\sin{\angle CAB} = \frac{2 \sin{60^\circ}}{\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$\angle CAB = 45^\circ$

$\angle CAD = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ$

(4) $\triangle ADC$の面積を求める。

$\triangle ADC$について、$AD = 2\sqrt{2}, AC = \sqrt{6}, \angle CAD = 60^\circ$

余弦定理より、$CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2 \cdot AD \cdot AC \cdot \cos{\angle CAD}$

$CD^2 = (2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos{60^\circ}$

$CD^2 = 8 + 6 - 4\sqrt{12} \cdot \frac{1}{2}$

$CD^2 = 14 - 2 \cdot 2\sqrt{3} = 14 - 4\sqrt{3}$

$CD = \sqrt{14 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{14 - 2\sqrt{12}}$

面積を求めるためには、ヘロンの公式を利用する。

$s = \frac{AD + AC + CD}{2} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{14 - 4\sqrt{3}}}{2}$

しかし、CDが複雑なので、別の方法を考える。

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{36}}{2} = \frac{6}{2} = 3/2*\sqrt3$

$\angle CAD=60^\circ$

面積は$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

(5) 四角形ABCDの面積を求める。

$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3} + 3}{2}$

3. 最終的な答え

$AC = \sqrt{6}$

$S = \frac{3 + 4\sqrt{3}}{2}$