一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとする。 $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ と $\vec{AB} \cdot \vec{AM}$ の値を求め、それぞれア/イ、ウ/エの形で表す。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとする。

$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ と $\vec{AB} \cdot \vec{AM}$ の値を求め、それぞれア/イ、ウ/エの形で表す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ を計算する。正四面体の辺の長さが1なので、$\left| \vec{AB} \right| = 1$、$\left| \vec{AC} \right| = 1$、$\angle BAC = 60^\circ$ である。

したがって、

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \left| \vec{AB} \right| \left| \vec{AC} \right| \cos \angle BAC = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

よって、ア=1、イ=2。

次に、$\vec{AM}$ を $\vec{AC}$ と $\vec{AD}$ を用いて表す。MはCDの中点なので、

$\vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{AC} + \vec{AD})$

したがって、

$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \frac{1}{2} (\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{2} (\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AB} \cdot \vec{AD})$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ は既に求めており、$\frac{1}{2}$ である。$\vec{AB} \cdot \vec{AD}$ も同様に $\frac{1}{2}$ である。

したがって、

$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}$

よって、ウ=1、エ=2。

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = 2

ウ = 1

エ = 2