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A, B, C, D, E, F の6文字をすべて使ってできる順列を辞書式に並べる。 (1) 140番目の文字列を求める。 (2) FBCDAE が何番目の文字列かを求める。

離散数学順列組み合わせ辞書式順序
2025/5/25

1. 問題の内容

A, B, C, D, E, F の6文字をすべて使ってできる順列を辞書式に並べる。
(1) 140番目の文字列を求める。
(2) FBCDAE が何番目の文字列かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 140番目の文字列を求める。
まず、先頭の文字を固定した場合の順列の数を考える。
- A で始まる順列は 5!=1205! = 120 個ある。
- B で始まる順列も 5!=1205! = 120 個ある。
A で始まる順列の120個とBで始まる順列の120個を合わせると240個となる。
したがって、140番目の文字列は B で始まる。
140 - 120 = 20
20番目の文字列を考える。
- BA で始まる順列は 4!=244! = 24 個ある。
20 < 24 なので、BA から始まる順列の中に答えがある。
- BAC で始まる順列は 3!=63! = 6 個ある。
- BAD で始まる順列も 3!=63! = 6 個ある。
- BAE で始まる順列も 3!=63! = 6 個ある。
6 + 6 + 6 = 18
BAEまでで120 + 18 = 138番目である。
したがって、BAFから始まる順列の中に答えがある。
20 - (6 + 6 + 6) = 2
2番目の文字列を考える。
BAF CDE, BAF CED の順になる。
よって、140番目の文字列は BAF CED である。
(2) FBCDAE が何番目の文字列かを求める。
- A で始まる順列は 5!=1205! = 120 個ある。
- B で始まる順列は 5!=1205! = 120 個ある。
- C で始まる順列は 5!=1205! = 120 個ある。
- D で始まる順列は 5!=1205! = 120 個ある。
- E で始まる順列は 5!=1205! = 120 個ある。
- F で始まる順列は 5!=1205! = 120 個ある。
F で始まる順列をさらに調べる。
- FA で始まる順列は 4!=244! = 24 個ある。
- FB で始まる順列は 4!=244! = 24 個ある。
FB で始まる順列をさらに調べる。
- FBC で始まる順列は 3!=63! = 6 個ある。
FBC で始まる順列をさらに調べる。
- FBCA で始まる順列は 2!=22! = 2 個ある。
FBCA で始まる順列をさらに調べる。
- FBCDAE は 120×5+24+6+2+1=600+24+6+2+1=633120 \times 5 + 24 + 6 + 2 + 1 = 600 + 24 + 6 + 2 + 1 = 633 番目である。

3. 最終的な答え

(1) BAF CED
(2) 633

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