A, B, C, D, E, F の6文字をすべて使ってできる順列を辞書式に並べる。 (1) 140番目の文字列を求める。 (2) FBCDAE が何番目の文字列かを求める。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E, F の6文字をすべて使ってできる順列を辞書式に並べる。

(1) 140番目の文字列を求める。

(2) FBCDAE が何番目の文字列かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 140番目の文字列を求める。

まず、先頭の文字を固定した場合の順列の数を考える。

- A で始まる順列は $5! = 120$ 個ある。

- B で始まる順列も $5! = 120$ 個ある。

A で始まる順列の120個とBで始まる順列の120個を合わせると240個となる。

したがって、140番目の文字列は B で始まる。

140 - 120 = 20

20番目の文字列を考える。

- BA で始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

20 < 24 なので、BA から始まる順列の中に答えがある。

- BAC で始まる順列は $3! = 6$ 個ある。

- BAD で始まる順列も $3! = 6$ 個ある。

- BAE で始まる順列も $3! = 6$ 個ある。

6 + 6 + 6 = 18

BAEまでで120 + 18 = 138番目である。

したがって、BAFから始まる順列の中に答えがある。

20 - (6 + 6 + 6) = 2

2番目の文字列を考える。

BAF CDE, BAF CED の順になる。

よって、140番目の文字列は BAF CED である。

(2) FBCDAE が何番目の文字列かを求める。

- A で始まる順列は $5! = 120$ 個ある。

- B で始まる順列は $5! = 120$ 個ある。

- C で始まる順列は $5! = 120$ 個ある。

- D で始まる順列は $5! = 120$ 個ある。

- E で始まる順列は $5! = 120$ 個ある。

- F で始まる順列は $5! = 120$ 個ある。

F で始まる順列をさらに調べる。

- FA で始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

- FB で始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

FB で始まる順列をさらに調べる。

- FBC で始まる順列は $3! = 6$ 個ある。

FBC で始まる順列をさらに調べる。

- FBCA で始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

FBCA で始まる順列をさらに調べる。

- FBCDAE は $120 \times 5 + 24 + 6 + 2 + 1 = 600 + 24 + 6 + 2 + 1 = 633$ 番目である。

3. 最終的な答え

(1) BAF CED

(2) 633