一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとする。 ∠BAM = θ とするとき、$\cos{\theta} = \frac{ア}{\sqrt{イ}}$である。ア、イに入る数字を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとする。

∠BAM = θ とするとき、$\cos{\theta} = \frac{ア}{\sqrt{イ}}$である。ア、イに入る数字を求めよ。

2. 解き方の手順

AMとBMは正三角形ACDとBCDの中線なので、AM = BM = $\frac{\sqrt{3}}{2}$となる。

また、AB = 1である。

三角形ABMに余弦定理を適用すると、

$AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2AM \cdot BM \cdot \cos{\theta}$

$1^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos{\theta}$

$1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cos{\theta}$

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos{\theta}$

$\frac{3}{2} \cos{\theta} = \frac{1}{2}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{3}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{\sqrt{9}}$

3. 最終的な答え

ア：1

イ：9