与えられた数列の和を$\Sigma$記号を用いて表し、その和を求める。数列は以下の4つである。 (1) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2$ (2) $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + \cdots + n^2(n+1)$ (3) $1 \cdot (2n-1) + 3 \cdot (2n-3) + 5 \cdot (2n-5) + \cdots + (2n-1) \cdot 1$ (4) $1 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 \cdot 7 + \cdots + (2n-1) \cdot 2n \cdot (2n+1)$

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた数列の和を$\Sigma$記号を用いて表し、その和を求める。数列は以下の4つである。

(1) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2$

(2) $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + \cdots + n^2(n+1)$

(3) $1 \cdot (2n-1) + 3 \cdot (2n-3) + 5 \cdot (2n-5) + \cdots + (2n-1) \cdot 1$

(4) $1 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 \cdot 7 + \cdots + (2n-1) \cdot 2n \cdot (2n+1)$

2. 解き方の手順

(1) 第k項は$(2k-1)^2$である。kは1からnまで変化する。したがって、$\Sigma$記号を用いると$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$となる。これを計算する。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \frac{n}{3} [2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3] = \frac{n}{3} [4n^2+6n+2-6n-6+3] = \frac{n(4n^2-1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) 第k項は$k^2(k+1)$である。kは1からnまで変化する。したがって、$\Sigma$記号を用いると$\sum_{k=1}^{n} k^2(k+1)$となる。これを計算する。

$\sum_{k=1}^{n} k^2(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)}{12} [3n(n+1) + 2(2n+1)] = \frac{n(n+1)}{12} [3n^2+3n+4n+2] = \frac{n(n+1)(3n^2+7n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$

(3) 第k項は$(2k-1)(2n - (2k-2) -1) = (2k-1)(2n-2k+1)$. kは1からnまで変化する。したがって、$\Sigma$記号を用いると$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n-2k+1)$となる。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n-2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 2k - 2n + 2k - 1) = \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 4k - 2n - 1)$

$= 4n \sum_{k=1}^{n} k - 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} (2n+1) = (4n+4) \sum_{k=1}^{n} k - 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - (2n+1)n$

$= (4n+4) \frac{n(n+1)}{2} - 4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - (2n^2 + n) = 2(n+1)n(n+1) - \frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) - (2n^2 + n)$

$= 2n(n^2 + 2n + 1) - \frac{2}{3} n(2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 + n) = 2n^3 + 4n^2 + 2n - \frac{4}{3}n^3 - 2n^2 - \frac{2}{3} n - 2n^2 - n = \frac{2}{3} n^3 + \frac{n}{3} = \frac{n(2n^2+1)}{3}$

(4) 第k項は$(2k-1)2k(2k+1)$である。kは1からnまで変化する。したがって、$\Sigma$記号を用いると$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)2k(2k+1)$となる。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)2k(2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 1)(2k) = \sum_{k=1}^{n} (8k^3 - 2k) = 8\sum_{k=1}^{n} k^3 - 2\sum_{k=1}^{n} k = 8(\frac{n(n+1)}{2})^2 - 2(\frac{n(n+1)}{2}) = 8\frac{n^2(n+1)^2}{4} - n(n+1) = 2n^2(n+1)^2 - n(n+1) = n(n+1)[2n(n+1) - 1] = n(n+1)(2n^2+2n-1)$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} k^2(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n-2k+1) = \frac{n(2n^2+1)}{3}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)2k(2k+1) = n(n+1)(2n^2+2n-1)$