与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理して因数分解します。

まず、$a$についての降べきの順に整理します。

\begin{align*}

a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc &= a^2(b+c) + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc \\

&= (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + (b^2c + bc^2) \\

&= (b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c) \\

&= (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] \\

&= (b+c)[a^2 + ba + ca + bc] \\

&= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)] \\

&= (b+c)(a+b)(a+c) \\

&= (a+b)(b+c)(c+a)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$