与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する問題です。

代数学因数分解多項式
2025/5/26

1. 問題の内容

与えられた式 a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)+2abca^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理して因数分解します。
まず、aaについての降べきの順に整理します。
\begin{align*}
a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc &= a^2(b+c) + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc \\
&= (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + (b^2c + bc^2) \\
&= (b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c) \\
&= (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] \\
&= (b+c)[a^2 + ba + ca + bc] \\
&= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)] \\
&= (b+c)(a+b)(a+c) \\
&= (a+b)(b+c)(c+a)
\end{align*}

3. 最終的な答え

(a+b)(b+c)(c+a)(a+b)(b+c)(c+a)

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