与えられた式 $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

次に、この式を整理し、因数分解します。

$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc = a^2b + a^2c + abc + b^2c + b^2a + abc + c^2a + c^2b$

$= a(ab + ac + bc) + b(bc + ab + ac) + c(ca + cb)$

$= a(ab+ac+bc)+b(ab+bc+ac) + c^2a + c^2b + abc -abc$

この式を $a$ について整理します。

$a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 2abc = a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

共通因数 $(b+c)$ でくくります。

$= (b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$