与えられた分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ です。

代数学分母の有理化平方根式の計算
2025/5/26

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は 2+121\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数、つまり 2+1\sqrt{2}+1 を分母と分子の両方に掛けます。
2+121=2+121×2+12+1\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}
=(2+1)(2+1)(21)(2+1)= \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}
=(2+1)2(2)2(1)2= \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2 - (1)^2}
分子を展開します:
(2+1)2=(2)2+2(2)(1)+(1)2=2+22+1=3+22(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + (1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}
分母を展開します:
(2)2(1)2=21=1(\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1
したがって、与えられた分数の分母を有理化した結果は次のようになります。
3+221=3+22\frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}

3. 最終的な答え

3+223 + 2\sqrt{2}

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