与えられた分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数、つまり $\sqrt{2}+1$ を分母と分子の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}$

$= \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

$= \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2 - (1)^2}$

分子を展開します:

$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + (1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

分母を展開します:

$(\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$

したがって、与えられた分数の分母を有理化した結果は次のようになります。

$\frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$3 + 2\sqrt{2}$