次の3つの絶対値の式について、(1)は方程式を解き、(2)と(3)は不等式を解く問題です。 (1) $|x-3| = 2x$ (2) $|x+1| < 5x$ (3) $|2x-1| \geq x+4$

1. 問題の内容

次の3つの絶対値の式について、(1)は方程式を解き、(2)と(3)は不等式を解く問題です。

(1) $|x-3| = 2x$

(2) $|x+1| < 5x$

(3) $|2x-1| \geq x+4$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$ の場合

絶対値の中身の符号で場合分けを行います。

(i) $x-3 \geq 0$、つまり $x \geq 3$ のとき

$x-3 = 2x$

$-3 = x$

これは $x \geq 3$ を満たさないので不適です。

(ii) $x-3 < 0$、つまり $x < 3$ のとき

$-(x-3) = 2x$

$-x + 3 = 2x$

$3 = 3x$

$x = 1$

これは $x < 3$ を満たすので解です。

(2) $|x+1| < 5x$ の場合

まず、$5x > 0$ である必要があるので、$x > 0$ です。

絶対値の中身の符号で場合分けを行います。

(i) $x+1 \geq 0$、つまり $x \geq -1$ のとき

$x+1 < 5x$

$1 < 4x$

$x > \frac{1}{4}$

$x > 0$との共通範囲を考えると、$x > \frac{1}{4}$です。

(ii) $x+1 < 0$、つまり $x < -1$ のとき

$-(x+1) < 5x$

$-x - 1 < 5x$

$-1 < 6x$

$x > -\frac{1}{6}$

$x>0$かつ$x<-1$を満たす解は存在しないため、不適。

したがって、$x > \frac{1}{4}$

(3) $|2x-1| \geq x+4$ の場合

絶対値の中身の符号で場合分けを行います。

(i) $2x-1 \geq 0$、つまり $x \geq \frac{1}{2}$ のとき

$2x-1 \geq x+4$

$x \geq 5$

これは $x \geq \frac{1}{2}$ を満たすので、$x \geq 5$が解です。

(ii) $2x-1 < 0$、つまり $x < \frac{1}{2}$ のとき

$-(2x-1) \geq x+4$

$-2x+1 \geq x+4$

$-3 \geq 3x$

$x \leq -1$

これは $x < \frac{1}{2}$ を満たすので、$x \leq -1$が解です。

したがって、$x \leq -1$ または $x \geq 5$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$

(2) $x > \frac{1}{4}$

(3) $x \leq -1$ または $x \geq 5$