以下の不等式を解く問題です。 (a) $3^{x-1} < 81$ (b) $3^{-x+1} < 81$ (c) $(0.5)^{x-1} < 32$ (d) $2^{3x-1} \ge (0.25)^x$ (e) $4^x + 2^{2x+1} > 24$ (f) $2^{2x+1} - 2^{x+1} \ge 2^{x+1}$ (g) $(2^x)^x \times 2^x < 64$

はい、承知いたしました。与えられた不等式を解きます。

1. 問題の内容

以下の不等式を解く問題です。

(a) $3^{x-1} < 81$

(b) $3^{-x+1} < 81$

(c) $(0.5)^{x-1} < 32$

(d) $2^{3x-1} \ge (0.25)^x$

(e) $4^x + 2^{2x+1} > 24$

(f) $2^{2x+1} - 2^{x+1} \ge 2^{x+1}$

(g) $(2^x)^x \times 2^x < 64$

2. 解き方の手順

(a)

$3^{x-1} < 81$

$3^{x-1} < 3^4$

$x-1 < 4$

$x < 5$

(b)

$3^{-x+1} < 81$

$3^{-x+1} < 3^4$

$-x+1 < 4$

$-x < 3$

$x > -3$

(c)

$(0.5)^{x-1} < 32$

$(\frac{1}{2})^{x-1} < 2^5$

$2^{-(x-1)} < 2^5$

$-(x-1) < 5$

$-x+1 < 5$

$-x < 4$

$x > -4$

(d)

$2^{3x-1} \ge (0.25)^x$

$2^{3x-1} \ge (\frac{1}{4})^x$

$2^{3x-1} \ge (2^{-2})^x$

$2^{3x-1} \ge 2^{-2x}$

$3x-1 \ge -2x$

$5x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{5}$

(e)

$4^x + 2^{2x+1} > 24$

$(2^2)^x + 2^{2x} \times 2^1 > 24$

$(2^x)^2 + 2(2^x)^2 > 24$

$3(2^x)^2 > 24$

$(2^x)^2 > 8$

$2^x > \sqrt{8}$

$2^x > 2\sqrt{2}$

$2^x > 2^{3/2}$

$x > \frac{3}{2}$

(f)

$2^{2x+1} - 2^{x+1} \ge 2^{x+1}$

$2^{2x+1} \ge 2 \times 2^{x+1}$

$2^{2x+1} \ge 2^{x+2}$

$2x+1 \ge x+2$

$x \ge 1$

(g)

$(2^x)^x \times 2^x < 64$

$2^{x^2} \times 2^x < 2^6$

$2^{x^2+x} < 2^6$

$x^2 + x < 6$

$x^2 + x - 6 < 0$

$(x+3)(x-2) < 0$

$-3 < x < 2$

3. 最終的な答え

(a) $x < 5$

(b) $x > -3$

(c) $x > -4$

(d) $x \ge \frac{1}{5}$

(e) $x > \frac{3}{2}$

(f) $x \ge 1$

(g) $-3 < x < 2$