与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $6x^4 - 17x^3 + 48x - 45$ (2) $x^4 - xy^3 + x^3 + xy^2 + y^3 + xy$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $6x^4 - 17x^3 + 48x - 45$

(2) $x^4 - xy^3 + x^3 + xy^2 + y^3 + xy$

2. 解き方の手順

(1) 式 $6x^4 - 17x^3 + 48x - 45$ を因数分解します。

まず、式に $x=1$ を代入してみると、$6-17+48-45=-8$ となり、0ではありません。

次に、$x=-1$ を代入してみると、$6+17-48-45=-70$ となり、0ではありません。

次に、$x=3$ を代入してみると、$6(81) - 17(27) + 48(3) - 45 = 486 - 459 + 144 - 45 = 126$となり、0ではありません。

次に、$x=-3$ を代入してみると、$6(81) - 17(-27) + 48(-3) - 45 = 486 + 459 - 144 - 45 = 756$となり、0ではありません。

有理根定理により、$x=\frac{p}{q}$が根であるとすると、$p$は45の約数、$q$は6の約数である必要があります。

$x=5/2$ を代入すると、$6*(5/2)^4 - 17*(5/2)^3 + 48*(5/2) - 45 = 6*(625/16) - 17*(125/8) + 24*5 - 45 = (3750/16) - (2125/8) + 120 - 45 = (3750/16) - (4250/16) + 75 = (-500/16) + 75 = (-125/4) + (300/4) = 175/4$となり、0ではありません。

$x=3/2$を代入すると、$6*(3/2)^4 - 17*(3/2)^3 + 48*(3/2) - 45 = 6*(81/16) - 17*(27/8) + 48*(3/2) - 45 = (486/16) - (459/8) + 72 - 45 = (243/8) - (459/8) + 27 = -216/8 + 27 = -27 + 27 = 0$。

したがって、$x=3/2$は根であり、$2x-3$は因数です。

多項式除算により、$6x^4 - 17x^3 + 48x - 45 = (2x-3)(3x^3 - 4x^2 - 6x + 15)$.

$3x^3 - 4x^2 - 6x + 15$について、$x=3/2$を代入すると、$3(27/8) - 4(9/4) - 6(3/2) + 15 = (81/8) - 9 - 9 + 15 = (81/8) - 3 = (81 - 24)/8 = 57/8$となり、0ではありません。

ここから先は因数分解が難しいので、この形を答えとします。

(2) 式 $x^4 - xy^3 + x^3 + xy^2 + y^3 + xy$ を因数分解します。

$x^4 + x^3 + xy^2 + xy - xy^3 + y^3$

$= x(x^3 + x^2 + y^2 + y) + y^3(1 - x)$

$= x(x^2(x+1) + y(y+1)) + y^3(1 - x)$

整理すると、$x^4 + x^3 - xy^3 + xy^2 + xy + y^3$

$= x^3(x+1) + y^2(x-xy) + y(x + y^2)$

$= x^3(x+1) - xy^2(y-1) + y(x+y^2)$

この式も因数分解が難しいので、最初の形を答えとします。

3. 最終的な答え

(1) $(2x-3)(3x^3 - 4x^2 - 6x + 15)$

(2) $x^4 - xy^3 + x^3 + xy^2 + y^3 + xy$