与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ (3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - 2}$ (4) $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - 2}$

(4) $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母にある根号をなくすように変形することです。

(1) 分母が$\sqrt{3} + \sqrt{2}$なので、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) 分母が$\sqrt{5} - \sqrt{3}$なので、$\sqrt{5} + \sqrt{3}$を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

(3) 分母が$\sqrt{6} - 2$なので、$\sqrt{6} + 2$を分子と分母にかけます。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - 2} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - 2} \times \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} + 2} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6} + 2)}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{2\sqrt{18} + 4\sqrt{3}}{6 - 4} = \frac{2 \times 3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$

(4) 分母が$\sqrt{3} - 1$なので、$\sqrt{3} + 1$を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1^2}{3 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

(3) $3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$

(4) $2 + \sqrt{3}$