次の式を計算してください。 $\frac{4x}{x^2-1} - \frac{x-1}{x^2+x}$

1. 問題の内容

次の式を計算してください。

$\frac{4x}{x^2-1} - \frac{x-1}{x^2+x}$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^2 + x = x(x+1)$

よって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{4x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{x(x+1)}$

次に、通分します。共通の分母は $x(x-1)(x+1)$ です。

$\frac{4x}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x-1}{x(x+1)} \cdot \frac{x-1}{x-1}$

$\frac{4x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{(x-1)^2}{x(x-1)(x+1)}$

分子を計算します。

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

したがって、

$\frac{4x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x^2 - 2x + 1}{x(x-1)(x+1)}$

$\frac{4x^2 - (x^2 - 2x + 1)}{x(x-1)(x+1)}$

$\frac{4x^2 - x^2 + 2x - 1}{x(x-1)(x+1)}$

$\frac{3x^2 + 2x - 1}{x(x-1)(x+1)}$

分子を因数分解します。

$3x^2 + 2x - 1 = (3x-1)(x+1)$

したがって、

$\frac{(3x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}$

$x+1$ を約分します。

$\frac{3x-1}{x(x-1)}$

$\frac{3x-1}{x^2-x}$

3. 最終的な答え

$\frac{3x-1}{x(x-1)}$ あるいは $\frac{3x-1}{x^2-x}$