与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成に近い形に変形することを試みます。

まず、$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2+1)^2$ であることを利用します。

すると、$x^4 - 6x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 8x^2 = (x^2+1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2$ と変形できます。

これは平方の差の形 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ であり、$A = x^2+1$、$B = 2\sqrt{2}x$ とおけば、因数分解できます。

$(x^2+1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2 = (x^2+1+2\sqrt{2}x)(x^2+1-2\sqrt{2}x) = (x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$