等比数列$\{a_n\}$において、第2項が12、第4項が108であるとき、一般項$a_n$を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列$\{a_n\}$において、第2項が12、第4項が108であるとき、一般項$a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を$a_n = ar^{n-1}$とする。ここで、$a$は初項、$r$は公比である。

問題文より、

第2項が12であるから、$a_2 = ar = 12$ ...(1)

第4項が108であるから、$a_4 = ar^3 = 108$ ...(2)

(2)を(1)で割ると、

$\frac{ar^3}{ar} = \frac{108}{12}$

$r^2 = 9$

$r = \pm 3$

(i) $r=3$の場合

(1)より、$3a = 12$だから、$a = 4$

したがって、$a_n = 4 \cdot 3^{n-1}$

(ii) $r=-3$の場合

(1)より、$-3a = 12$だから、$a = -4$

したがって、$a_n = -4 \cdot (-3)^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1}$または$a_n = -4 \cdot (-3)^{n-1}$