次の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (1) 第2項が12、第4項が108 (2) 第3項が-32、第5項が-512

1. 問題の内容

次の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(1) 第2項が12、第4項が108

(2) 第3項が-32、第5項が-512

2. 解き方の手順

(1) 初項を $a$、公比を $r$ とすると、第 $n$ 項は $ar^{n-1}$ と表される。

第2項が12であるから、

$ar = 12$ (1)

第4項が108であるから、

$ar^3 = 108$ (2)

(2)÷(1) より

$\frac{ar^3}{ar} = \frac{108}{12}$

$r^2 = 9$

$r = \pm 3$

(i) $r=3$ のとき、(1)より

$3a = 12$

$a = 4$

したがって、一般項は $a_n = 4 \cdot 3^{n-1}$

(ii) $r=-3$ のとき、(1)より

$-3a = 12$

$a = -4$

したがって、一般項は $a_n = -4 \cdot (-3)^{n-1}$

(2) 初項を $a$、公比を $r$ とすると、

第3項が-32であるから、

$ar^2 = -32$ (3)

第5項が-512であるから、

$ar^4 = -512$ (4)

(4)÷(3) より

$\frac{ar^4}{ar^2} = \frac{-512}{-32}$

$r^2 = 16$

$r = \pm 4$

(i) $r=4$ のとき、(3)より

$16a = -32$

$a = -2$

したがって、一般項は $a_n = -2 \cdot 4^{n-1}$

(ii) $r=-4$ のとき、(3)より

$16a = -32$

$a = -2$

したがって、一般項は $a_n = -2 \cdot (-4)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ または $a_n = -4 \cdot (-3)^{n-1}$

(2) $a_n = -2 \cdot 4^{n-1}$ または $a_n = -2 \cdot (-4)^{n-1}$