正の整数 $a$ に対して、ある整数 $b$ が存在し、$63a - 32b = 1$ を満たすとする。このような性質を満たす正の整数 $a$ のうちで最小のものを考え、このときの $a$ と $b$ の積 $ab$ の値を求める。

1. 問題の内容

正の整数 $a$ に対して、ある整数 $b$ が存在し、$63a - 32b = 1$ を満たすとする。このような性質を満たす正の整数 $a$ のうちで最小のものを考え、このときの $a$ と $b$ の積 $ab$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$63a - 32b = 1$ を満たす整数 $a$ と $b$ を求めるために、ユークリッドの互除法を用いて $63$ と $32$ の最大公約数を求める。

$63 = 32 \times 1 + 31$

$32 = 31 \times 1 + 1$

$31 = 1 \times 31 + 0$

最大公約数は $1$ である。次に、上の式を逆順に辿り、$63a - 32b = 1$ の形にする。

$1 = 32 - 31 \times 1$

$1 = 32 - (63 - 32 \times 1) \times 1$

$1 = 32 - 63 + 32$

$1 = 32 \times 2 - 63 \times 1$

したがって、$63 \times (-1) - 32 \times (-2) = 1$ である。

$a$ は正の整数である必要があるため、この解を一般解の形に変形する。

$63a - 32b = 1$ の一つの解が $a_0 = -1$、$b_0 = -2$ であるから、$a = a_0 + 32k$、$b = b_0 + 63k$ (kは整数)と表せる。

$a = -1 + 32k$

$b = -2 + 63k$

$a$ が最小の正の整数となるように $k$ を選ぶ。

$a = -1 + 32k > 0$ より、$32k > 1$、$k > \frac{1}{32}$ である。

したがって、$k=1$ のとき、$a = -1 + 32(1) = 31$ となり、$a$ は最小の正の整数となる。

このとき、$b = -2 + 63(1) = 61$ となる。

したがって、$ab = 31 \times 61$ を計算する。

3. 最終的な答え

$ab = 31 \times 61 = 1891$

答え: 1891