初速度 $v_0$ [m/s]で物体を鉛直上方に投げ上げた。重力加速度の大きさを $g$ [m/s²]とする。以下の問いに答えよ。 (1) 最高点での物体の速さを求めよ。 (2) 投げ上げてから最高点に達するまでの時間 $t_1$ [s] を求めよ。 (3) 投げ上げた地点から最高点までの高さを求めよ。 (4) 投げ上げてから元の高さまでに戻る時間を $t_2$ [s]とすると、$t_2 = 2t_1$が成り立つ。これを証明せよ。 (5) 投げ上げてから元の位置に戻った瞬間の速度を$v_1$とすると、$v_1 = -v_0$が成り立つ。これを証明せよ。

## 問題9の解答

1. 問題の内容

初速度 $v_0$ [m/s]で物体を鉛直上方に投げ上げた。重力加速度の大きさを $g$ [m/s²]とする。以下の問いに答えよ。

(1) 最高点での物体の速さを求めよ。

(2) 投げ上げてから最高点に達するまでの時間 $t_1$ [s] を求めよ。

(3) 投げ上げた地点から最高点までの高さを求めよ。

(4) 投げ上げてから元の高さまでに戻る時間を $t_2$ [s]とすると、$t_2 = 2t_1$が成り立つ。これを証明せよ。

(5) 投げ上げてから元の位置に戻った瞬間の速度を$v_1$とすると、$v_1 = -v_0$が成り立つ。これを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 最高点では物体の速度が0になる。

(2) 等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ を用いる。最高点では $v=0$、$a=-g$ なので、$0 = v_0 - gt_1$。 これを $t_1$ について解く。

(3) 等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ を用いる。最高点では $v=0$、$a=-g$、$x=h$ (高さ) なので、$0 - v_0^2 = -2gh$。 これを $h$ について解く。

(4) 投げ上げてから元の高さに戻るまでの時間を $t_2$ とする。等加速度運動の公式 $x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$を用いる。元の高さに戻るので $x=0$、$a=-g$、$t=t_2$ より、$0 = v_0 t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2$。 これを $t_2$ について解く。$t_2 = 0$ は初期状態なので、 $t_2 = \frac{2v_0}{g}$。 (2)で求めた $t_1 = \frac{v_0}{g}$ より、$t_2 = 2t_1$が成り立つ。

(5) 等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ を用いる。元の位置に戻った時の速度を $v_1$、$a=-g$、$t=t_2$ より、$v_1 = v_0 - gt_2$。 (4)で求めた $t_2 = \frac{2v_0}{g}$ を代入して、$v_1 = v_0 - g \frac{2v_0}{g} = v_0 - 2v_0 = -v_0$。

3. 最終的な答え

(1) 0 m/s

(2) $t_1 = \frac{v_0}{g}$ [s]

(3) $h = \frac{v_0^2}{2g}$ [m]

(4) $t_2 = \frac{2v_0}{g}$ [s]、よって$t_2 = 2t_1$が成り立つ。

(5) $v_1 = -v_0$ [m/s]