与えられた2つの数列の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) の数列 $2, 10, 24, 44, 70, 102, 140, \dots$ について考えます。階差数列を求めると $8, 14, 20, 26, 32, 38, \dots$ となり、これは等差数列です。さらに階差をとると、$6, 6, 6, 6, 6, \dots$となります。よって、元の数列は階差数列が等差数列となる数列(2階差数列)です。

一般項を $a_n = An^2 + Bn + C$ とおき、$a_1 = 2, a_2 = 10, a_3 = 24$ を代入して連立方程式を解きます。

$A + B + C = 2$

$4A + 2B + C = 10$

$9A + 3B + C = 24$

この連立方程式を解くと、$A = 3, B = -1, C = 0$ となります。

したがって、$a_n = 3n^2 - n$

(2) の数列 $3, 4, 7, 16, 43, 124, \dots$ について考えます。階差数列を求めると、$1, 3, 9, 27, 81, \dots$ となり、これは公比が3の等比数列です。

したがって、元の数列の一般項 $a_n$ は $a_1 = 3$ と $a_{n+1} - a_n = 3^{n-1}$を満たします。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$

$a_n = 3 + \sum_{k=0}^{n-2} 3^{k}$

$a_n = 3 + \frac{1 - 3^{n-1}}{1 - 3}$

$a_n = 3 + \frac{3^{n-1} - 1}{2}$

$a_n = \frac{6 + 3^{n-1} - 1}{2}$

$a_n = \frac{3^{n-1} + 5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3n^2 - n$

(2) $a_n = \frac{3^{n-1} + 5}{2}$