箱の中に赤玉、青玉、黄玉が1個ずつ入っている。箱の中から1個の玉を取り出し、色を確認してから箱に戻す操作を3回繰り返す。取り出した玉の色の種類の数を $X$ とする。 (1) 赤玉を3回取り出す確率と、$X=1$ となる確率を求める。 (2) $X=2$ となる確率と、$X$ の期待値を求める。

1. 問題の内容

箱の中に赤玉、青玉、黄玉が1個ずつ入っている。箱の中から1個の玉を取り出し、色を確認してから箱に戻す操作を3回繰り返す。取り出した玉の色の種類の数を $X$ とする。

(1) 赤玉を3回取り出す確率と、$X=1$ となる確率を求める。

(2) $X=2$ となる確率と、$X$ の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

赤玉を3回取り出す確率は、1回の試行で赤玉を取り出す確率が $1/3$ なので、

$(1/3)^3 = 1/27$

$X=1$ となるのは、3回とも同じ色の玉を取り出すときである。

赤玉を3回取り出す確率は上記で求めたように $1/27$ である。同様に、青玉を3回取り出す確率も $1/27$ 、黄玉を3回取り出す確率も $1/27$ である。

したがって、$X=1$ となる確率は、

$1/27 + 1/27 + 1/27 = 3/27 = 1/9$

(2)

$X=2$ となるのは、3回の試行で2種類の色の玉を取り出す場合である。

まず、2種類の色の選び方は ${}_3C_2 = 3$ 通りある。

例えば、赤玉と青玉を選んだとする。このとき、3回の試行で赤玉と青玉のみを取り出す確率は、

$(2/3)^3 = 8/27$

ただし、この中には3回とも赤玉の場合と3回とも青玉の場合が含まれているので、これらを除外する必要がある。

3回とも赤玉の確率は $1/27$ 、3回とも青玉の確率は $1/27$ である。

したがって、赤玉と青玉のみを取り出し、かつ両方の色が出現する確率は、

$8/27 - 1/27 - 1/27 = 6/27 = 2/9$

色の組み合わせは3通りあるので、$X=2$ となる確率は、

$3 \times (2/9) = 6/9 = 2/3$

$X$ の期待値を求める。

$X$ がとりうる値は1, 2, 3である。それぞれの確率を $P(X=1)$, $P(X=2)$, $P(X=3)$ とすると、

$P(X=1) = 1/9$

$P(X=2) = 2/3$

$P(X=3)$ は、全確率が1であることから、

$P(X=3) = 1 - P(X=1) - P(X=2) = 1 - 1/9 - 2/3 = 1 - 1/9 - 6/9 = 2/9$

したがって、$X$ の期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) = 1 \times (1/9) + 2 \times (2/3) + 3 \times (2/9) = 1/9 + 4/3 + 6/9 = 1/9 + 12/9 + 6/9 = 19/9$

3. 最終的な答え

(1) 赤玉を3回取り出す確率は $1/27$、$X=1$ となる確率は $1/9$。

(2) $X=2$ となる確率は $2/3$、$X$ の期待値は $19/9$。